浙教版八年级竞赛培优训练数形结合

浙教版八年级竞赛培优训练数形结合1．已知点A（1，1），点B（3，3），点C是y轴上一动点，当点C运动到位置时（填坐标），△ABC的周长最小．2．若的值为．3．若A（x1，y1），B（x2，y2）为一次函数y＝3x﹣1的图象上的两个不同的点，且x1x2≠0，设，，那么M与N的大小关系是（）A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不确定4．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）A．B．C．D．6．△ABC的三边满足a2﹣2bc＝c2﹣2ab，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．对坐标平面内不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，用|AB|表示A，B两点间的距离(即线段AB的长度)，用||AB||表示A，B两点间的格距，定义A，B两点间的格距为||AB||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则|AB|与||AB||的大小关系为()A．|AB|≥||AB||B．|AB|＞||AB||C．|AB|≤||AB||D．|AB|＜||AB||8．若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式的图象是()9．如图10－30－1，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为()A.32B．3C．1D.4310．如图10－30－2，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为()A．3B．4C．6D．811．甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B地的路程分别为y甲(km)，y乙(km)，甲车行驶的时间为x(h)，y甲，y乙与x之间的函数图象如图10－30－3所示，结合图象解答下列问题：(1)乙车休息了____h；(2)求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当两车相距40km时，直接写出x的值．12．(1)如图10－30－6①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；(2)如图10－30－6②，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图10－30－6③，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．13．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a＞1)的纸片，先减去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…，以此类推，请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．14．如图10－30－7，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，点P在线段AB上，OP(O是坐标原点)将△OAB分成面积为1∶2的两部分，则过点P的反比例函数解析式为____．15．如图10－30－8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30.D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E.设CD＝x，DF＝y.(1)求y与x的函数关系式；(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值；(3)当△DEF是直角三角形时，求x的值．16．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．第30讲数形结合【思维入门】1．对坐标平面内不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，用|AB|表示A，B两点间的距离(即线段AB的长度)，用||AB||表示A，B两点间的格距，定义A，B两点间的格距为||AB||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则|AB|与||AB||的大小关系为(C)A．|AB|≥||AB||B．|AB|＞||AB||C．|AB|≤||AB||D．|AB|＜||AB||【解析】∵|AB|，|x1－x2|，|y1－y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，所以|AB|≤||AB||.2．若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式的图象是(D)【解析】根据题意，x＋2y＝80，所以，y＝－12x＋40，根据三角形的三边关系，xy－y＝0，xy＋y＝2y，所以x＋x80，解得x40，所以，y与x的函数关系式为y＝－12x＋40(0x40)．只有D选项符合．3．如图10－30－1，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为(A)图10－30－1A.32B．3C．1D.43【解析】∵AB＝3，AD＝4，∴AC＝32＋42＝5，DC＝3，根据折叠可得△DEC≌△D′EC，∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E.设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC－CD′＝2，AE＝4－x，在Rt△AED′中，(AD′)2＋(ED′)2＝AE2，22＋x2＝(4－x)2，解得x＝32.4．如图10－30－2，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为(C)A．3B．4C．6D．8图10－30－2【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD＝BC′＝AB，ED＝EB，∠FC′B＝∠EAB＝90°.∵∠ABE＋∠EBF＝∠C′BF＋∠EBF＝90°.∴∠ABE＝∠C′BF，∠FC′B＝∠EAB，BC′＝AB，∠ABE＝∠C′BF.∴△BAE≌△BC′F(ASA)，∵△ABE的周长＝AB＋AE＋EB＝AB＋AE＋ED＝AB＋AD＝1＋2＝3.∴△ABE和△BC′F的周长之和＝2△ABE的周长＝2×3＝6.5．甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B地的路程分别为y甲(km)，y乙(km)，甲车行驶的时间为x(h)，y甲，y乙与x之间的函数图象如图10－30－3所示，结合图象解答下列问题：(1)乙车休息了__0.5__h；(2)求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当两车相距40km时，直接写出x的值．图10－30－3解：(1)设甲车行驶的函数解析式为y甲＝k1x＋b1(k1是不为0的常数)，y甲＝k1x＋b1图象过点(0，400)，(5，0)，得b1＝400，5k1＋b1＝0，解得k1＝－80，b1＝400，甲车行驶的函数解析式为y甲＝－80x＋400，当y＝200时，x＝2.5，2．5－2＝0.5(h)，故乙车休息了0.5h.(2)设乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式为y乙＝k2x＋b2，y乙＝k2x＋b2图象过点(2.5，200)，(5，400)，得2.5k2＋b2＝200，5k2＋b2＝400，解得k2＝80，b2＝0，乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式为y乙＝80x(2.5≤x≤5)；(3)设乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式为y乙＝k3x，图象过点(2，200)，解得k3＝100，∴乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式为y乙＝100x，0≤x≤2.5时，y甲减y乙等于40km，即400－80x－100x＝40，解得x＝2；2．5≤x≤5时，y乙减y甲等于40km，即80x－(－80x＋400)＝40，解得x＝114.综上所述x＝2或x＝114时，两车相距40km.【思维拓展】6．如图10－30－4，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y＝kx(k≠0)中k的值的变化情况是(C)A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【解析】设矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝2b.∵矩形ABCD的周长始终保持不变，∴2(2a＋2b)＝4(a＋b)为定值，∴a＋b为定值．∵矩形对角线的交点与原点O重合．∴k＝12AB·12AD＝ab.又∵a＋b为定值时，当a＝b时，ab最大，∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．7．关于x的反比例函数y＝a＋4x的图象如图10－30－5所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0的根的情况是__没有实数根__．【解析】∵反比例函数y＝a＋4x的图象位于第一、三象限，∴a＋40，∴a－4，∵A，P关于原点成中心对称，PB∥y轴，△PAB的面积大于12，∴2xy12，即a＋46，a2，∴a2.∴Δ＝(－1)2－4(a－1)×14＝2－a0，∴关于x的方程(a－1)x2－x＋14＝0没有实数根．8．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x2＝x1＋2，且1y2＝1y1＋12，则这个反比例函数的表达式为__y＝4x__．【解析】设这个反比例函数的表达式为y＝kx，∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是同一个反比例函数图象上的两点，∴x1·y1＝x2·y2＝k，∴1y1＝x1k，1y2＝x2k，∵1y2＝1y1＋12，图10－30－4图10－30－5∴x2k＝x1k＋12，∴1k(x2－x1)＝12.∵x2＝x1＋2，∴1k×2＝12，∴k＝4.∴这个反比例函数的表达式为y＝4x.9．(1)如图10－30－6①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；(2)如图10－30－6②，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图10－30－6③，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．图10－30－6解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)证明：如答图①，延长AD至F，第9题答图①第9题答图②使DF＝BE，连结CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.(3)如答图②，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC.∵∠DCE＝45°