北师大数学八年级上册第五章二元一次方程组解法(二)--加减法(提高)

二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1.掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2.能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1.（2015春•澧县期末）用加减消元法解方程组3465923xyxy【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解.【答案与解析】解：此式可化为：349(1)2659(2)3xyxy由(1)：3x+4y=18(1)由(2)：6x+5y=27(2)(1)×2：6x+8y=36(3)(3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23xy【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元.举一反三：【变式】方程组201020092008200820072006xyxy的解为：.【答案】12xy2.（2016春•新乡期末）若关于x、y的二元一次方程组1615axmybxny的解为71xy，求关于x、y的方程组(2)()16(2)()15axymxybxynxy的解．【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y看作一个整体，则两个方程同解．【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得27,1.xyxy解得：23xy【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组111222axbycaxbyc的解是34xy，求方程组111222325325axbycaxbyc的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：．【答案】解：由方程组111222axbycaxbyc的解是34xy，得1112223434abcabc，上式可写成111222352105352105abcabc，与111222325325axbycaxbyc比较，可得：510xy．类型二、用适当方法解二元一次方程组3.解方程组36101610xyxyxyxy【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单.【答案与解析】解：设,610xyxymn，则原方程组可化为31mnmn①②解得12mn即16210xyxy，所以620xyxy解得137xy所以原方程组的解为137xy．【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法.举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925xyxy①②，②×3－①×2得，3535y，即1y，将1y代入①得，99x，即1x，所以原方程组的解为11xy.4.试求方程组27526xyxy的解．【答案与解析】解：27526xyxy①②①－②，整理得513yy③∵50y，∴13－y≥0，即y≤13，当513y时，③可化为513yy，解得9y；当5y时，③可化为513yy，无解.将9y代入②，得23x，解得15x或.综上可得，原方程组的解为：19xy或59xy.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解.举一反三：【变式】（2015春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．【答案】解：方程组，①×3+②得：11x=22，解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7，解得：y=﹣1，∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16．【巩固练习】一、选择题1．如果x:y＝3:2，并且x+3y＝27，则x与y中较小的值是（）.A．3B．6C．9D．122．（2016•闸北区二模）方程组327413xyxy的解是（）A．13xyB．31xyC．31xyD．13xy3．已知方程组54358xymxy中，x、y的值相等，则m等于（）.A．1或-1B．1C．5D．-54.如果324xyaxy的解都是正数，那么a的取值范围是（）.A．a2；B.43a；C.423a；D.43a5．小明在解关于x、y的二元一次方程组331xyxy时得到了正确结果1xy．后来发现、处被墨水污损了，请你帮他计算出、处的值分别是（）.A．1、1B．2、1C．1、2D．2、26.已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）.A．a=-3,b=-14B.a=3,b=-7C.a=-1,b=9D.a=-3,b=14二、填空题7．若32225ababxy是二元一次方程，则a＝________，b＝________．8．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_____，底边长___．9．已知3222341mnmnxy是关于x、y的二元一次方程，则m＝_______，n＝_______；在自然数范围内，该方程的解是________．10．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y＝________．11．（2016•薛城区模拟）定义运算“※”，规定x※y=2axby，其中a，b为常数，且1※2=5，2※1=6，则2※3=．12.（2015春•沛县期末）已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为．三、解答题13．解下列方程组：（1）2()1346()4(2)16xyxyxyxy（2）133623218yxyyxx14.（2015春•建昌县期末）解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值．15．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题．解方程组191817171615xyxy①②时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③③×16，得16x+16y＝16④，②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是12xy．请你用上述方法解方程组200820072006200620052004xyxy，并猜测关于x、y的方程组(2)(1)()(2)(1)axayaabbxbyb的解是什么？并加以验证．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】x:y=3:2x+3y=27，解得96xy，所以较小的数为6.2.【答案】B．3.【答案】B；【解析】解方程组得解为3253740337mxmy，因为x、y的值相等，所以3254033737mm，解得1m.4.【答案】C；5.【答案】B；【解析】将1xy代入331xyxy得331，解之得12.6.【答案】A；【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例.二、填空题7.【答案】1，0；【解析】由二元一次方程的定义得32211abab，解得10ab.8.【答案】7，4；【解析】设等腰三角形的底边长为x，则腰长为3x，所以2(3)18xx，解得4x.9.【答案】1，2，10xy；10．【答案】7；11.【答案】10；【解析】根据新运算的定义可得，根据题意得：2546abab，解得：12ab，则2※3=4+6=10．12.【答案】8．【解析】解方程组，①﹣②得：x=﹣2，把x=﹣2代入②得：﹣2+y=3，解得：y=5则方程组的解是：，代入x+2y=k得：﹣2+10=k，则k=8.三、解答题13.【解析】解：（1）将“xy”看作整体:2()1346()4(2)16xyxyxyxy①②由①得3()8()12xyxy，③将③代入②得8()122(2)8xyxy，即312xy，④将④代入③，化简得15115122yy，即2y，将2y代入④得2x，所以原方程组的解为22xy.（2）133623218yxyyxx①②由①得219xy，③将③代入②，整理得72196yy，解得6y，将6y代入③得7x，所以原方程组的解为76xy.14.【解析】解：∵方程组的正确解为，∴把代入方程cx﹣7y=8，可得3c+14=8，解得c=﹣2；把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得，解得，∴a+b+c=10+11﹣2=19．15.【解析】解：200820072006200620052004xyxy①②，①－②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③．③×2005，得2005x+2005y＝2005④．②－④，得x＝-1，把x＝-1代入③得y＝2．所以原方程组的解是12xy，可以猜测关于x，y的方程组(2)(1)()(2)(1)axayaabbxbyb的解是12xy．验证如下：将x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a中满足方程左、右两边的值相等，将x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b中满足方程左、右两边的值相等，所以12xy是方程组(2)(1)()(2)(1)axayaabbxbyb的解．