复变函数教案第五章

《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章29章节名称：第五章留数学时安排：6学时教学要求：理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法；理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；2．了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3．理解留数的定义；4．熟练掌握计算留数的方法；5．理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点：留数的定义，留数的计算教学难点：用留数理论计算积分教学手段：课堂讲授教学过程：第五章留数§1、孤立奇点1.相关定义定义1设点a为函数)(zf的奇点，若)(zf在点a的某个去心邻域Raz0内解析，则称点a为函数)(zf的孤立奇点．定义2设点a为函数)(zf的孤立奇点：⑴若)(zf在点a的罗朗级数的主要部分为零，则称点a为)(zf的可去奇点；⑵若)(zf在点a的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为0,)()(11)1(mmmmmcazcazcazc则称点a为)(zf的m级（阶）极点；⑶若)(zf在点a的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a为)(zf的本性奇点．例：依定义，点0z为zzsin的可去奇点，点0z为2ezz的二级极点，点1z为zz1sin的本性奇点．2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理1若点a为)(zf的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：①点a为)(zf的可去奇点；《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章30②)()(limczfaz；③函数)(zf在点a的某个去心邻域内有界．⑵函数在极点的去心邻域内的性质定理2若点a为)(zf的孤立奇点，则下列三个条件是等价的．①点a为)(zf的m级极点；②)(zf在点a的某个去心邻域Raz0内可表示为mazzhzf)()()(其中的)(zh在点a的邻域Raz内解析，且0)(ah；③点a为)(1zf的m级零点（可去奇点视作解析点时）．定理3点a为函数)(zf的极点的充分必要条件是)(limzfaz⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理4点a为函数)(zf的本性奇点的充分必要条件是)(limzfaz不存在，即当az时，)(zf既不趋于有限值，也不趋于．定理5若点a为)(zf的本性奇点，且)(zf在点a的充分小的邻域内不为零，则点a必为)(1zf的本性奇点．例设1)e1(5)(zzf，试求)(zf在复平面上的奇点，并判定其类别．解首先，求)(zf的奇点．)(zf的奇点出自方程0e1z的解．解方程得)1(Lnz,2,1,0,iπ)12(kk《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章31若设),2,1,0(iπ)12(kkzk，则易知kz为)(zf的孤立奇点．另外，因0)e1(,0)e1(kkzzzzzz所以，由零点的定义知kz为ze1的一级零点．从而知),2,1,0(kzk均为)(zf的一级极点．§2、留数1，定义3设)(a为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：az，若)(zf在az0上解析，则称czzf)d(iπ21为)(zf在点a的留数（或残数），记作),(Resaf或)(Resa，即czzfaf)d(iπ21),(Res2，留数计算规则：规则1如果0z为)(zf的一级极点，那么)()(lim),(Res000zfzzzfzz.规则2如果0z为)(zf的m级极点，那么)}(){(lim)!1(1),(Res01100zfzzzdmzfmmmzz.规则3设,)()()(zQzPzf)(zP及)(zQ在0z解析，如果0)(0zP，0)(0zQ，0)(0'zQ，那么0z为)(zf的一级极点，而)()(),(Res0'00zQzPzf例1设)1(25)(zzzzf，求)0,(Resf．解法1由定义《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章3241d)1(25iπ21)0,(Reszzzzzf41dz125iπ21zzzz0)125(zzz2注意：这里的积分路径的半径并非只能取41，只须使半径小于1即可满足定义的条件．解法2因点0z为)(zf的孤立奇点，所以，在310:)31,0(*zN内有zzzzf1)1(25)(0)52(nnzz032nnzz由此得21c，依（7.2）式得2)0,(Resf．解法3因点0z为)(zf的一级极点，则按规则1)1(25lim)0,(Res0zzzzfz2解法4因点0z为)1(25)(zzzzf的一级极点，则按规则30}])1([25{)0,(Reszzzzf23，定义4设z为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：z，若)(zf在zR内解析)(R，则称《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章33czzf)d(iπ21为函数)(zf在点z的留数（或残数），记作),(Resf或)(Res，即czzff)d(iπ21),(Res规则4]0,1)1([Res],)([Res2zzfzf例2设zzzfe)1()(2，求),(Resf．解取圆周2:zc，由（7.6）式得czzzfde1iπ21),(Res2czzzde1iπ21204，定理6设区域G是由围线c的内部构成（如图），若函数)(zf在G内除含有限个奇点naaa,,,21外解析，且在cGG上除点naaa,,,21外连续，则njjcafzzf1),(Resiπ2)d(5，定理7如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么)(zf在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零。例3计算积分1,d12i212azazzz．解首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点．由122azz求出被积a1•c1a2•c2a3•c3an•cnGc《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章34函数的奇点有121aaz与122aaz因1a，所以，12z，又因121zz，故11z，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点1z．其次，经检验，得),12i2(Resiπ2d12i21212zazzzazzz]))((i2)[(limiπ22111zzzzzzzz1π22a§3、留数在定积分计算上的应用1.形如π20d)sin,(cosR的积分通过一定的转化，可得1π20)(d)sin,(cosRzdzzf例计算)10(d2pcos-1cos2π202ppI2.形如xR(x)d的积分通过一定的转化，可得njjzzQzPxzQzPx1),)()((Resiπ2d)()(R(x)d例4计算积分xxxxd1242．解经验证，此积分可用公式一计算．首先，求出1)()(242zzzzQzP在上半平面的全部奇点．令0124zz即22424)12(1zzzzz222)1(zz《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章35)1)(1(22zzzz0于是，)()(zQzP在上半平面的全部奇点只有两个：i2321与i2321且知道，与均为)()(zQzP的一级极点．其次，算留数，有))()()(()(lim),)()((Res2zzzzzzzQzPzi34i31))()()(()(lim),)()((Res2zzzzzzzQzPzi34i31最后，将所得留数代入公式得)],)()((Res),)()((Res[iπ2d1242zQzPzQzPxxxx3π3.形如))()()(,0(d(x)eaixQxPxRaxRx的积分njjzkxkzzQzPxxQxP1ii),e)()((Resiπ2de)()(例5计算积分0,de22iaxaxx．解经验证，该积分可用公式二计算．首先，求出辅助函数22ie)(azzfz在上半平面的全部奇点．《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第五章36由022az解得iaz与iaz为)(zf的奇点，而0a，所以，)(zf在上半平面只有一个奇点ia，且ia为)(zf的一级极点．其次，计算留数．有)i)(i(e)i(lim)i,e(Resii22iazazazaazzazzi2eaa最后，由公式得)i,e(Resiπ2de22i22iaazxaxzxaaeπ于是容易得到aaxaxxeπdcos22与0dsin22xaxx练习：P.185，13（6）教学小结：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；2.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质；3．理解留数（也叫残数）的定义；4．熟练掌握计算留数的方法；5．理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。作业布置：第五章习题（P.183）1（3）；8（1，3，5）；13（1，3，5）预习：积分变换第一章FOURIER变换