共线定理以及三点共线

共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量babba//),0(,的充要条件是：存在唯一的实数，使ba例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A.0B.C.D.【解答】解：因为向量与共线，所以存在实数x有，则，解得故选D．例2.已知向量，，且与共线，，则A.B.C.或D.或【解答】解：与共线，，，，或．故选：D．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A.8B.3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A.2B.C.D.3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A.1B.2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A.B.8C.6D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且1xy。特别地有：当点P在线段AB上时，0,0xy当点P在线段AB之外时，0xy例1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若1200OBaOAaOC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（）A．100B．101C．200D．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴1200200200()1002aaS,故选A。例2已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41的最小值是解：点P落在ABC的边BC上B，P,C三点共线APxAByAC1xy　且x0,y014141444()1()()145yxyxxyxyxyxyxyxy　x0,y040,0yxxy由基本不等式可知：4424yxyxxyxy，取等号时4yxxy224yx2yx0,0xy2yx1xy12,33xy，符合所以yx41的最小值为9例3.如图2，在△ABC中，13ANNC，点P是BC上的一点，若211APmABAC，则实数m的值为（）A．911B.511C.311D.211解：,,BPN三点共线，又2284111111APmABACmABANmABAN8111m311m，故选C例4.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且，，连接AC、MN交于P点，若，则的值为A.B.C.D.【解答】解：，，，、N、P三点共线．，，图2故选C．例5.如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m的值为______．【解答】解：连接AO，则，又，O，N三点共线，，即．故答案为．例6.如图所示：点G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．设OAxOP，OByOQ，证明：yx11是定值；证明：因为G是OAB的重心，211()()323OGOAOBOAOB1OPxOAOAOPx1OQyOBOBOQy111111()()3333OGOAOBOPOQOGOPOQxyxy又,,PGQ三点共线，11133xy113xy11xy为定值3例7.如图6所示,在平行四边形ABCD中，13AEAB,14AFAD,CE与BF相交于G点，记ABa，ADb，则AG_______A．2177abB.2377abC.3177abD.4277ab图6分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：,,EGC三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得(1)AGxAExAC,1133AEABa,ACab12(1)()(1)(1)33xAGxaxabaxb…………………①又,,FGB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得(1)AGABAF1144AFADb，，1(1)4AGab……………………………②由①②两式可得：213114xx6737x3177AGab三、推论推论1：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且1xy。推论2：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且1xy。练习：已知点P为三角形ABC所在平面内一点，且13APABtAC(tR),若点P落在三角形ABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）A．3(0,)4B.13(,)24C.(0,1)D.2(0,)3解：点P落在ABC的内部A,P两点在直线BC的同一侧，由推论2知：113t23t专项练习：1.OAB，点P在边AB上，3ABAP，设,OAaOBb，则OP（）12.33Aab21.33Bab.C1233ab.D2133ab2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=03.已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,，则yx41的最小值是PBAOba4、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB→、BC→分别为a、b，则AH→＝()A．25a－45bB．25a＋45bC．－25a＋45bD．－25a－45b5、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（）A．1142abB．2133abC．1124abD．1233ab6、在平行四边形ABCD中，11,34AEABAFAD,CE与BF相交于点G,记ABa，ADb，则AG＝()A．2177abB．2377abC．3177abD．4277ab7、在△ABO中，已知11,,42OCOAODOB，且AD与BC相交于点M，设,,OAaOBb则_________OM（结果用ab与表示）8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若OCxOAyOB则有：（）.01.1.1.10AxyBxyAxyAxy