21.3--实际问题与一元二次方程

九年级上册21.3实际问题与一元二次方程22.3实际问题与一元二次方程1.根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。2.根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力.学习目标：例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是多少?（1）本题中的数量关系是什么？分析：……被传染人被传染人……被传染人被传染人…………xx开始传染源1被传染人被传染人则第一轮的传染源有人，有人被传染，x设每轮传染中平均一个人传染了x个人，开始传染源被传染人被传染人……x第二轮的传染源有人，有人被传染.1xx+1x(x+1)例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：（3）如何理解经过两轮传染后共有121人患了流感？传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的总和是121人.例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：（4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论?解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.1+x+x(1+x)=121.___________,21xx答:平均一个人传染了10个人.10-12(不符题意，舍去)列一元二次方程解应用题的一般步骤：第一步：审题，明确已知和未知；第二步：找相等关系；第三步：设元，列方程，并解方程；第五步：作答.第四步：检验根的合理性；(5)如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?121+121×10=1331人（6）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？x+1第三轮的传染源有人，有人被传染，共有人患流感？x+1+x(x+1)第二轮的传染源有人，有人被传染，共有人患流感？第一轮的传染源有人，有人被传染，共有人患流感？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，1xx(x+1)x+1x+1+x(x+1)〔x+1+x(x+1)〕x+〔x+1+x(x+1)〕xx+1+x(x+1)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x·x=91x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?3.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为：_________________________乙种药品成本的年平均下降额为：__________________________________显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）探究2（5000－3000）÷2＝1000（元）（6000－3600）÷2＝1200（元）设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为5000（1－x）2元，于是有5000（1－x）2=3000解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.7756000(1－y)2=3600设乙种药品的下降率为y列方程解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率相同成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？（4）算一算乙种药品的年平均下降率是多少？若设乙种药品成本的年平均下降率为y，那么一年后乙种药品成本为______元，两年后乙种药成本为______元，于是有等量关系：____________。分析：6000（1-y）6000（1-y）26000（1-y）2=3600两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：(5)比较两种药品的年平均下降率，你能得出什么结论？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格成本.下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。a(1±x)n=b复利公式a:增长前x:增长（降低）的百分率n:期数b:增长后青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意可列方程7200(1+x)2=8450.解得(1+x)2≈1.17.x1≈0.08x2≈－2.08(不符合实际舍去).答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8％．在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。XX30cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5当x=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm探究3分析:本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)27分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得21274379xx解得2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:8.143275422339272927x4.143214222337212721x探究3要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?27分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得4336x(以下同学们自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?为什么?在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。XX30cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5当x=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm探究1分析:本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)27分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得21274379xx解得2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:8.143275422339272927x4.143214222337212721x探究2要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?27分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得4336x(以下同学们自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?为什么?例1.(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.解:(1)方案1：长为米，宽为7米;719方案2：长为16米，宽为4米;方案3：长=宽=8米;注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，046514)16(422acb∴此方程无解.∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米学校课外生物小组的实验园地是一块长40米，宽26米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为864平方米，求小道的宽？设小道的宽为x米。根据题意得:(40－2x)(26－x)=864088462xx0)44)(2(xx21x442x（不合题意，舍去）答：小道的宽为2米。小道小道26404026探究3例.(2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米