九年级数学下册-第三章-圆-3.9-弧长及扇形的面积课件-(新版)北师大版

9弧长及扇形的面积第三章圆课堂达标素养提升9弧长及扇形的面积第三章圆课堂达标一、选择题9弧长及扇形的面积1．2017·武汉期末如图K－29－1，等边三角形ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是()A．πB．2πC．4πD．6π图K－29－1B[解析]B依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝60π×12×4180×3＝2π.故选B.9弧长及扇形的面积2.2018·福州二模如图K－29－2，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若AB︵＝BC︵＝CD︵，则图中阴影部分的面积是()A．6πB．12πC．18πD．24π图K－29－2A[解析]A∵AB︵＝BC︵＝CD︵，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝60π×62360＝6π.故选A.二、填空题9弧长及扇形的面积3．2017·长春如图K－29－3，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交BC于点D，则AD︵的长为________．(结果保留π)图K－29－38π9[解析]∵在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝12(180°－100°)＝40°.∵AB＝4，∴AD︵的长为40π×4180＝8π9.9弧长及扇形的面积4．如图K－29－4，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)图K－29－42π9弧长及扇形的面积5．如图K－29－5，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫正三角形的渐开线，其中CD︵，DE︵，EF︵的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．4π[解析]CD︵的长是120π×1180＝2π3，DE︵的长是120π×2180＝4π3，EF︵的长是120π×3180＝2π，则曲线CDEF的长是2π3＋4π3＋2π＝4π.故答案为4π.图K－29－59弧长及扇形的面积6．如图K－29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与AB边交于点D，将BD︵绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．图K－29－623－2π39弧长及扇形的面积[解析]依题意，有AD＝BD.又∠ACB＝90°，所以CB＝CD＝BD，即△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°.由AC＝23，求得BC＝2，AB＝4，S弓形BD＝S扇形BCD－S△BCD＝60π×22360－3＝23π－3，故阴影部分的面积为S△ACD－S弓形AD＝3－(2π3－3)＝23－2π3.三、解答题9弧长及扇形的面积7．如图K－29－7，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在扇形上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．图K－29－79弧长及扇形的面积解：如图，连接OD.根据折叠的性质，得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝OD＝BD，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝12∠DBO＝30°.∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB·tan∠CBO＝6×33＝23，∴S△BDC＝S△OBC＝12·OB·OC＝12×6×23＝63.9弧长及扇形的面积∵S扇形OAB＝90360π×62＝9π，lAB︵＝90180π×6＝3π，∴整个阴影部分的周长为AC＋CD＋BD＋lAB︵＝AC＋OC＋OB＋lAB︵＝OA＋OB＋lAB︵＝6＋6＋3π＝12＋3π，整个阴影部分的面积为S扇形OAB－S△BDC－S△OBC＝9π－63－63＝9π－123.9弧长及扇形的面积8．2018·椒江区模拟如图K－29－8，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交BC︵于点D，连接AD.(1)求证：∠CAD＝∠BAD；(2)若⊙O的半径为1，∠B＝50°，求AC︵的长．图K－29－89弧长及扇形的面积解：(1)证明：∵点O是圆心，OD⊥BC，∴CD︵＝BD︵，∴∠CAD＝∠BAD.(2)连接CO，∵∠B＝50°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝50°，∴∠AOC＝100°，∴AC︵的长为100π×1180＝5π9.9弧长及扇形的面积9．2017·如东县一模如图K－29－9，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E.(1)求BD的长；(2)求阴影部分的面积．图K－29－99弧长及扇形的面积解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H.在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，∴CH＝12BC＝2，BH＝3CH＝23.∵CH⊥BD，∴DH＝BH，∴BD＝2BH＝43.(2)连接CD.∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠B＝30°，∴∠BCD＝120°，∴阴影部分的面积＝扇形CBD的面积－△CBD的面积＝120π×42360－12×43×2＝163π－43.9弧长及扇形的面积10．2017·贵阳如图K－29－10，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).图K－29－109弧长及扇形的面积解：(1)连接OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴AD︵＝CD︵＝BC︵，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∵AB＝4，∴OA＝AD＝2.∵DE⊥AO，∴DE＝3，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝60·π×22360－12×2×3＝23π－3.9弧长及扇形的面积11．如图K－29－11，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向将△ABC在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝3，则顶点A运动到点A″的位置时，(1)求点A所经过的路线长；(2)点A所经过的路线与l围成的图形的面积是多少？图K－29－119弧长及扇形的面积解：(1)在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，∴AB＝2，∴cos∠ABC＝12，∴∠ABC＝60°，则∠ABA′＝120°，∠A′C″A″＝90°，∴lAA′︵＝120π×2180＝4π3，lA′A″︵＝90π×3180＝32π，∴点A所经过的路线长为4π3＋32π.9弧长及扇形的面积(2)S扇形BAA′＝12lAA′︵·AB＝12×4π3×2＝4π3，S扇形C″A′A″＝12lA′A″︵·C″A′＝12×3π2×3＝34π，S△A′B′C′＝12×1×3＝32，∴点A所经过的路线与l围成的图形的面积是43π＋34π＋32＝2512π＋32.素养提升9弧长及扇形的面积研究型在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形＝nπR2360，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝nπR180，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝12lR.接着老师让同学们解决两个问题：问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．9弧长及扇形的面积问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图K－29－12中的阴影部分，已知弧AB和弧CD所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．图K－29－129弧长及扇形的面积(2)在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有名同学发现扇形面积公式S扇形＝12lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝12(l1＋l2)d.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．图K－29－129弧长及扇形的面积解：(1)根据弧长公式l＝nπR180，弧长为4π，圆心角为120°，可得R＝6，∴S扇形＝12lR＝12×4π×6＝12π.9弧长及扇形的面积(2)他的猜想正确．设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角的度数为n°，则由l＝nπR180，得R＝180l1nπ，r＝180l2nπ，∴花坛的面积为12l1R－12l2r＝12·l1·180l1nπ－12·l2·180l2nπ＝90nπl12－l22＝90nπ(l1＋l2)(l1－l2)＝12·180nπ(l1＋l2)(nπ180R－nπ180r)＝12(l1＋l2)(R－r)＝12(l1＋l2)d.故他的猜想正确．