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9弧长及扇形的面积第三章圆课堂达标素养提升9弧长及扇形的面积第三章圆课堂达标一、选择题9弧长及扇形的面积1.2017·武汉期末如图K-29-1,等边三角形ABC的边长为4,D,E,F分别为边AB,BC,AC的中点,分别以A,B,C三点为圆心,以AD长为半径作三条圆弧,则图中三条圆弧的弧长之和是()A.πB.2πC.4πD.6π图K-29-1B[解析]B依题意知:图中三条圆弧的弧长之和=60π×12×4180×3=2π.故选B.9弧长及扇形的面积2.2018·福州二模如图K-29-2,AD是半圆O的直径,AD=12,B,C是半圆O上两点.若AB︵=BC︵=CD︵,则图中阴影部分的面积是()A.6πB.12πC.18πD.24π图K-29-2A[解析]A∵AB︵=BC︵=CD︵,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,∴阴影部分的面积=60π×62360=6π.故选A.二、填空题9弧长及扇形的面积3.2017·长春如图K-29-3,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,AB长为半径作圆弧,交BC于点D,则AD︵的长为________.(结果保留π)图K-29-38π9[解析]∵在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,∴∠B=∠C=12(180°-100°)=40°.∵AB=4,∴AD︵的长为40π×4180=8π9.9弧长及扇形的面积4.如图K-29-4,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分的面积是________.(结果保留π)图K-29-42π9弧长及扇形的面积5.如图K-29-5,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫正三角形的渐开线,其中CD︵,DE︵,EF︵的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是________.4π[解析]CD︵的长是120π×1180=2π3,DE︵的长是120π×2180=4π3,EF︵的长是120π×3180=2π,则曲线CDEF的长是2π3+4π3+2π=4π.故答案为4π.图K-29-59弧长及扇形的面积6.如图K-29-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=23,以点C为圆心,CB长为半径画弧,与AB边交于点D,将BD︵绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为________.图K-29-623-2π39弧长及扇形的面积[解析]依题意,有AD=BD.又∠ACB=90°,所以CB=CD=BD,即△BCD为等边三角形,∴∠BCD=∠B=60°,∠A=∠ACD=30°.由AC=23,求得BC=2,AB=4,S弓形BD=S扇形BCD-S△BCD=60π×22360-3=23π-3,故阴影部分的面积为S△ACD-S弓形AD=3-(2π3-3)=23-2π3.三、解答题9弧长及扇形的面积7.如图K-29-7,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在扇形上的点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.图K-29-79弧长及扇形的面积解:如图,连接OD.根据折叠的性质,得CD=CO,BD=BO,∠DBC=∠OBC,∴OB=OD=BD,即△OBD是等边三角形,∴∠DBO=60°,∴∠CBO=12∠DBO=30°.∵∠AOB=90°,∴OC=OB·tan∠CBO=6×33=23,∴S△BDC=S△OBC=12·OB·OC=12×6×23=63.9弧长及扇形的面积∵S扇形OAB=90360π×62=9π,lAB︵=90180π×6=3π,∴整个阴影部分的周长为AC+CD+BD+lAB︵=AC+OC+OB+lAB︵=OA+OB+lAB︵=6+6+3π=12+3π,整个阴影部分的面积为S扇形OAB-S△BDC-S△OBC=9π-63-63=9π-123.9弧长及扇形的面积8.2018·椒江区模拟如图K-29-8,AB是⊙O的直径,C是圆上一点,连接CA,CB,过点O作弦BC的垂线,交BC︵于点D,连接AD.(1)求证:∠CAD=∠BAD;(2)若⊙O的半径为1,∠B=50°,求AC︵的长.图K-29-89弧长及扇形的面积解:(1)证明:∵点O是圆心,OD⊥BC,∴CD︵=BD︵,∴∠CAD=∠BAD.(2)连接CO,∵∠B=50°,OB=OC,∴∠OCB=∠B=50°,∴∠AOC=100°,∴AC︵的长为100π×1180=5π9.9弧长及扇形的面积9.2017·如东县一模如图K-29-9,在△ABC中,∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=4,以点C为圆心,BC长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.(1)求BD的长;(2)求阴影部分的面积.图K-29-99弧长及扇形的面积解:(1)如图,过点C作CH⊥AB于点H.在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°.在Rt△BCH中,∵∠CHB=90°,∠B=30°,BC=4,∴CH=12BC=2,BH=3CH=23.∵CH⊥BD,∴DH=BH,∴BD=2BH=43.(2)连接CD.∵BC=DC,∴∠CDB=∠B=30°,∴∠BCD=120°,∴阴影部分的面积=扇形CBD的面积-△CBD的面积=120π×42360-12×43×2=163π-43.9弧长及扇形的面积10.2017·贵阳如图K-29-10,C,D是半圆O上的三等分点,直径AB=4,连接AD,AC,DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数;(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).图K-29-109弧长及扇形的面积解:(1)连接OD,OC,∵C,D是半圆O上的三等分点,∴AD︵=CD︵=BC︵,∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,∴∠CAB=30°.∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-30°=60°.(2)由(1)知∠AOD=60°.又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∵AB=4,∴OA=AD=2.∵DE⊥AO,∴DE=3,∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=60·π×22360-12×2×3=23π-3.9弧长及扇形的面积11.如图K-29-11,把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上,按顺时针方向将△ABC在l上转动两次,使它转到△A″B″C″的位置,设BC=1,AC=3,则顶点A运动到点A″的位置时,(1)求点A所经过的路线长;(2)点A所经过的路线与l围成的图形的面积是多少?图K-29-119弧长及扇形的面积解:(1)在Rt△ABC中,BC=1,AC=3,∴AB=2,∴cos∠ABC=12,∴∠ABC=60°,则∠ABA′=120°,∠A′C″A″=90°,∴lAA′︵=120π×2180=4π3,lA′A″︵=90π×3180=32π,∴点A所经过的路线长为4π3+32π.9弧长及扇形的面积(2)S扇形BAA′=12lAA′︵·AB=12×4π3×2=4π3,S扇形C″A′A″=12lA′A″︵·C″A′=12×3π2×3=34π,S△A′B′C′=12×1×3=32,∴点A所经过的路线与l围成的图形的面积是43π+34π+32=2512π+32.素养提升9弧长及扇形的面积研究型在学习扇形的面积公式时,同学们推得S扇形=nπR2360,并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=nπR180,得出扇形面积的另一种计算方法S扇形=12lR.接着老师让同学们解决两个问题:问题Ⅰ:求弧长为4π,圆心角为120°的扇形面积.9弧长及扇形的面积问题Ⅱ:某小区设计的花坛形状如图K-29-12中的阴影部分,已知弧AB和弧CD所在圆的圆心都是点O,弧AB的长为l1,弧CD的长为l2,AC=BD=d,求花坛的面积.图K-29-129弧长及扇形的面积(2)在解完问题Ⅱ后的全班交流中,有名同学发现扇形面积公式S扇形=12lR类似于三角形面积公式;类比梯形面积公式,他猜想花坛的面积S=12(l1+l2)d.他的猜想正确吗?如果正确,写出推导过程;如果不正确,请说明理由.图K-29-129弧长及扇形的面积解:(1)根据弧长公式l=nπR180,弧长为4π,圆心角为120°,可得R=6,∴S扇形=12lR=12×4π×6=12π.9弧长及扇形的面积(2)他的猜想正确.设大扇形的半径为R,小扇形的半径为r,圆心角的度数为n°,则由l=nπR180,得R=180l1nπ,r=180l2nπ,∴花坛的面积为12l1R-12l2r=12·l1·180l1nπ-12·l2·180l2nπ=90nπl12-l22=90nπ(l1+l2)(l1-l2)=12·180nπ(l1+l2)(nπ180R-nπ180r)=12(l1+l2)(R-r)=12(l1+l2)d.故他的猜想正确.
本文标题:九年级数学下册-第三章-圆-3.9-弧长及扇形的面积课件-(新版)北师大版
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