矩形性质及判定

活动一：思考讨论1:矩形是平行四边形吗？2:平行四边形经过怎样的变化就成为了矩形呢？有一个角是直角平行四边形矩形矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。OABCD∟∵四边形ABCD是平行四边形且AD⊥CD，∴四边形ABCD是矩形。反思拓展：1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使；（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。GHEFCDAB,BACEDGFH1234平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形ABCDO矩形有何性质?矩形性质1:矩形的四个角都是直角∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA=∠BCD＝∠ABC＝90°矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分．∵AC，BD是矩形ABCD的对角线∴AC＝BD,OA=OC,OB=OD（AC＝BD,OA=OC=OB=OD）邻边：互相垂直四个角都是直角互相平分相等（1）边：（2）角：（3）对角线：ABCD对边：平行相等（共性）（共性）（个性）（个性）（个性）（共性）O矩形特征（4）对称性：中心对称轴对称（共性）（个性）平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等四个角相等且是直角对角线对角线互相平分对角线互相平分且相等对称性中心对称中心对称轴对称平行四边形与矩形的性质比较:例一：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O,AB=OA=4cm.求：BD与AD的长OABCD解：∵四边形ABCD是矩形∴BD=AC=2OA=8cm，∴∠BAD＝90°在Rt△BAD中，根据勾股定理，得：2248166448∴)(34cmAD答：BD=8cm，222ABBDAD)(34cmAD矩形的分解图:ABCDODCBBCAoBO=AO=CO=AC21结论：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的半。30°30°结论：直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。CD=BD21练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A对角线相等B对边相等C对角相等D对角线互相平分A1.矩形的四个角都是2.矩形的对角线3.直角三角形斜边上的中线等于直角相等斜边的一半4、下列性质中，矩形不一定具有的是（）A、对角线相等B、四个角都相等C、是轴对称图形D、对角线垂直1、矩形的定义中有两个条件：一是，二是。2、有一个角是直角的四边形是矩形。（）3、矩形的对角线互相平分。（）平行四边形有一个角是直角√×D5、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A对角线互相平分B对角线相等C两组对边分别平行D对角相等6、矩形ABCD中，对角线AC、BD把矩形分成（）个等腰三角形。（A）2（B）4（C）6（D）8BADBCBO假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框成矩形？（直角尺等）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。你还有其它的方法吗？思考19.2.1矩形的判定工人师傅为了检验他做的四边形窗框是否成矩形，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定定理：几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD∴四边形ABCD是矩形ABCDO矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形几何语言：矩形的判定：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；3、判定定理2有三个角是直角的四边形是矩形；2、判定定理1对角线相等的平行四边形是矩形。下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;××××√√√√已知：在平行四边形ABCD中，AC=BD。求证：平行四边形ABCD是矩形。证明：∵AC=DB，BC=CB，AB=DC∴△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB∵AB∥DC∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=90°∴平行四边形ABCD是矩形ABOCD一个角是直角的平行四边形是矩形矩形常用的判定方法三个角是直角是四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCD是矩形∵在□ABCD中，AC=BD∴□ABCD是矩形∵在□ABCD中，∠A=90°∴□ABCD是矩形ABCDABCD知识链：四边形平行四边形矩形有一个角是直角有三个角是直角判断题：1、有一个角是直角的四边形是矩形。（）2、对角线相等的四边形是矩形。（）3、对角线相等的平行四边形是矩形。（）4、对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）5、邻角相等的平行四边形是矩形。（）6、ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，则四边形ABCD是矩形。（）╳╳√√√√随堂练习7.具备条件____的四边形是矩形．A．两条对角线相等B．对角线互相垂直C．一组对角是直角D．有三个角是直角选择题[]D填空题：8.若四边形ABCD的对角线AC、BD相等，且互相平分于O，则四边形ABCD是＿形，若∠AOB=60，那么AB：AC=＿，若AB=2cm，BC=＿cm，矩形ABCD的面积为＿。ABCDABCDEFGHO已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。求证：四边形EFGH是矩形。应用变题：若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH。（3）、观察四条平分线围成一个怎样的图形，能得出怎样的结论，能证明你的结论吗？（1）、准备一张平行四边形纸片；（2）、用折纸的方法折出平行四边形的四个内角的平分线；结论：平行四边形四个内角的平分线围成的四边形是矩形．平行四边形四个内角的平分线围成的四边形是矩形．FGEHDABC已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．2、如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，(1)、证明EO=FO。(2)、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。ABCNMFEO2、如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，∠BCA的外角平分线于点F，(1)证明EO=FO。(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形ABCNMFEO证明：（1）MN∥BC∴∠OEC=∠BCE∵CE平分∠BCA∴∠OCE=∠BCE∴∠OEC=∠OCE∴OE=OC同理可得OF=OC∴OE=OF（2）当点O运动到AC的中点时四边形AECF是矩形∵EO=FO,AO=CO∴四边形AECF是平行四边形∵EC，CF平分∠BCA和∠BCA的外角∴∠ECO+∠OCF=1800=900即∠ECF=900∴四边形AECF是矩形12ADBC如图，四边形ABCD是矩形。（1）若已知∠DBC=400，则∠BDC=。（2）若BC=8，DC=6，则BD=；AC=。矩形的性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等5001010ADBC例1、已知：平行四边形ABCD的AC、BD对角线相交于O，三角形AOB是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边形的面积。ABCOD∵△ABC是等边三角形∴OA=OB解：∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形。在Rt△ABC中∵AB=4,AC=2AO=8∴AO=AC，BO=BD2121∴AC=BD34BC316434BCABS例2、已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)同理可证∠AFB=∠AED=90°证明：∵AD∥BC∴∠ABC+∠DAB=1800∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的角平分线2121∴∠BAE=∠DAB∠ABF=∠ABC∴∠BAE+∠ABF=900∴∠AFB=90°1、已知，如图，□ABCD和□ABEC,且BD=BE求证∶□ABCD是矩形2、已知∶平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE,又∠BED为直角，求证∶四边形ABCD是矩形一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形“。乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。谁正确？△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，（1）试说明EO=OF的理由。（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。MNBCDEOFA四边形平行四边形矩形小结：5555575777例1:矩形ABCD被两对角线分成四个小三角形，如果四个三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的长是多少?ABCDO解：∵矩形ABCD两条对角线分成的四个小三角形的周长和是86cm∴AB+BC+CD+AD+2（AO+BO+CO+DO）=86又∵AO+BO+CO+DO=AC+BD=2×13=26∴AB+BC+CD+AD=86－2×26=34∴矩形ABCD的周长是34cm1、矩形的两条边长是6、8,则矩形的对角线长是_________2、一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：3，那么这个矩形的面积是__________3、矩形的一条对角线与一边的夹角是35°，则对角线相交所成的锐角是____________4、矩形中较短的边长为3.6cm，两条对角线相交的锐角为60°，则矩形对角线的长度是___________5、矩形的边长是45cm和20cm，其中一个内角的平分线分较长边为两部分的边长是___________1027cm270°7.2cm20cm和25cm1、在矩形ABDC中，CE⊥BD，垂足为E，若∠DCE=3∠ECB，求∠ACE的度数。2、如果矩形的一个内角平分线将它的一边分成3cm和5cm两部分，则它的面积是多少？ABCDEOABCDEABCDE3cm5cm3cm5cm自我诊断1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A对角线相等B对角线垂直C对角线互相平分且相等D对角线垂直且相等2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是cm3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A菱形B平行四边形C矩形D不能确定EFMNPQACDBA5C