力系的平衡

力系的平衡当一个力系的简化结果与一个零力系（主矢等于零；主矩等于零)等效时，称这个力系是平衡力系。1）平衡力系与简化中心无关。2）力系平衡与物系平衡并不完全相同。物系平衡是指物体静止或处于匀速直线运动状态。当物系平衡时，作用其上的力系必是平衡力系；但依据“加减平衡力系公理”，一个平衡力系并不能保证物体平衡，只能维持其原有运动状态不变。平衡力系所满足的条件称为平衡条件表示力系平衡条件的数学方程称为平衡方程空间力系的平衡条件和平衡方程空间力系平衡的充要条件是力系的主矢等于零；主矩等于零。0)(0iiRFmMFFOOXYZOFRMOzFzMyFxFxMyM平衡方程的坐标投影式XYZOxFzFyFMxMyMz0;0;0iziyixFFF0;0;0iziyixmmm三轴三影式方程的建立并不唯一。投影轴或矩轴也可以斜交，但需保证方程的独立性。巧妙地选取投影轴或矩轴，使列出的方程只有一个未知量。所列方程肯定独立。空间一般力系独立平衡方程为6个，可以求解6个未知力。空间力系平衡的特殊情况1）空间汇交力系——空间各力汇交于一点O。平衡方程;0;0;0iziyixFFF各力对O点之矩恒等于零，独立的平衡方程为3个，可以求解3个未知力。2）空间力偶系——主矢恒等于零。平衡方程;0;0;0iziyixmmm3）空间平行力系——设各力平行于Z轴，则力系对Z轴之矩恒等于零。而各力在x、y轴上的投影恒等于零。平衡方程;0;0;0iziyixFmm如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。Bxzy30oαADGCEFF1F2FA其侧视图为zy30oαABGEFF1FA解：1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。属于空间汇交力系的平衡问题3.联立求解。030cos30sin45cos30sin45cos,0030cos45cos30cos45cos30sin,0045sin45sin,0212121GFFFFFFFFFFFAzAyxkN.FkN.FFA668543212.列平衡方程。xzy30oαABDGCEFF1F2FAzy30oαABGEFF1FA空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分∠CBD。由于ABCD是正棱锥，所以AB与y轴的夹角为θ。解：为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Bxy上投影，然后再向轴上投影。1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。cosABABFFcosACACFFcosADADFF各力在坐标面Bxy上投影,30coscosACACxFF30sincosACACyFF,30coscosADADxFF30sincosADADyFF力FAC和FAD在轴x，y上的投影：（顶视图）2.列平衡方程。3.联立求解。sin3FFFFADACAB负号表示三杆都受压力。030coscos30coscosADACFF,0xF0cos30sincos30sincosABADACFFF,0yF0sinFFFFABADAC,0zF4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。联立求解得sin3FFFABBA030sin30sinBDBCFF,0xF0cos30cos30cosBABDBCFFF,0yF0sinBBAFF,0zF3FFBcot93FFFBDBC（顶视图）5.同理，再取球铰链C和D为研究对象，可求得：3FFFDCcot93FFCD桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球铰链约束。设B点滑轮上起吊重物的重量G=20kN，AD=AE=6m，其余尺寸如图。起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。CA4545605m30BDEG1.先取滑轮B为研究对象。注意，起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，它的受力图如图所示。xyB6030GFABFBC,0xF030cos60cosBCABFF解：这是一平面汇交力系，列平衡方程kN,20GFBCkN6.343GFAB解得:CA4545605m30BDEG,0yF03060GsinFsinFBCAB2.再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：xzAy4545BCFCEFCDF,0zF060cosFcosFFcosFCECDACBC先列出对Az轴的投影方程这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。60sinBCBCFF2.50sinCDCDFF2.50sinCECEFF2.5056arctanarctanACADCFACFCEFCDBCF60列平衡方程,0xF045sin45sinCDCEFF,Fy0045cos45cosCECDBCFFFkN9.1545cos2.50sin260sinBCCECDFFFkN4.1060cos2.50cos2BCCDACFFF由此解得kN6.34ABFkN4.10ACFkN9.15CECDFF所求结果如下：xzAy4545BCFCEFCDFCFACFCEFCDBCF60工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。mN6.284222zyxMMMM所以合力偶矩矢的大小mN1.19345cos45cosmN80mN1.19345cos45cos5412543MMMMMMMMMMzyx可得6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,合力偶矩矢的方向余弦将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。解：图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1，F1）的矩M1=20N·m；力偶（F2，F2）的矩M2=20N·m；力偶（F3，F3）的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。xzyOF1F2F31F3F2F0321xxxxMMMMmN2.11321yyyyMMMMmN2.41321zzzzMMMM2.合力偶矩矢M的投影。1.画出各力偶矩矢。解：3.合力偶矩矢M的大小和方向。mN7.42222zyxMMMM90,,0,cosiMiMMMx8.74,,262.0,cosjMjMMMy2.15,,965.0,coskMkMMMz4.为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为M4=－M。xzy45°OM145°M2M3M在三轮货车上放着一重G=1000kN的货物，重力G的作用线通过矩形底板上的点M。已知O1O2=1m，O3D=1.6m，O1E=0.4m，EM=0.6m，点D是线段O1O2的中点，EM⊥O1O2，试求A，B，C各处地面的铅直约束力。ABCGEO3O2O1DM,0zF0GFFFCBA,0xM03EMGDOFC,0yM02111OOFDOFEOGBC3.联立求解。N412,N213,N375ABCFFF解:zxyEO3O2O1DMGFBFAFC2.列平衡方程：1.取货车为研究对象，受力分析如图。属于空间平行力系的平衡镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz，径向力Fy，轴向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，Fy=1500N，Fx=750N，而刀尖B的坐标x=200mm，y=75mm，z=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束力的各个分量。刀杆根部是固定端，约束力是未知分布的空间力系，通常用这个力系向根部的A点简化的结果表出。一般情况下可有作用在A点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶。1.取镗刀杆为研究对象,受力分析如图。解：xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz2.列平衡方程。,0xF0xAxFF,0yF0yAyFF,0zF0zAzFF0075.0mFMzAx,0xM,0yM02.0mFMzAy,0zM02.0075.0mFmFMyxAz3.联立求解。,N750AxF,N5001AyFN0005AzF,mN375AxM,mN0001AyMmN8.243AzMxzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz如图所示匀质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为G，在A处作用一Y方向水平力F，且F=2G。求各杆的内力。XYZ045cos2,002,002,002,00,00,03222216645bFbFbGMbFbFbGMbbaaFaFaGMbGbFMFMFMBCFGEFADACAEFFFF2.列平衡方程。GGFFGF22F,5.10,232163.联立求解。1.取工件为研究对象，受力分析如图。解：平面力系的平衡平面力系的特点：力作用线共面（注意，力偶由一对力构成）。通常将XOY坐标系设在力作用面内；由空间力系的平衡条件：0;0;0iziyixFFF0;0;0iziyixmmm三轴三影式XYOFimi0;0;0yxZmmF自然满足平面一般力系的平衡方程0;0;0ZYXmFF或0;0;0AYXmFF一矩式，A是XY平面内任意一点平面一般力系平衡方程的其他形式二矩式：0;0;0BAlmmF其中，力投影轴l与两矩心AB的连线不能垂直。若0Am满足，说明合力作用线过A点若0Bm满足，说明合力作用线过AB连线若l与AB垂直，则“合力在l上投影等于零”的条件自然满足，不能保证合力为零。三矩式0;0;0BACmmm其中A、B、C三点不能共线。平面汇交力系的平衡0;0YXFF平面平行力系的平衡0;0AXmF或0;0ABmm平面力偶系的平衡0Om（两个独立方程）（两个独立方程）（一个独立方程）如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。ABlqFM452.列平衡方程045cos,0FFFAxx045sin,0FqlFFAyy045cos2,0MlFlqlMMAAF707.045cosFFFAx707.0FqlFAy707.0212MFlqlMA3.解方程1.取梁为研究对象，受力分析如图解：ABlqFM45qABxy45MFFAyMA