自动控制原理简明版根轨迹法

16、根轨迹在实轴上的分离点与会合点分离点或会合点的必要条件：式中0)]()([11dssHsGd)()()()()()(111111sHsGKpszsKsHsGnjjmiinjjmiipszssHsG1111)()()()(分离点1K1K01K01K1K1K会合点01K01K2设系统的开环传递函数)())(()()(121mmiizszszszssP)())(()()(121nnjjpspspspssQ0)()(1)()(1)()(11111sQsPKsHsGKsHsG0)()(1sQsPK)()()()()()()()(11111sQsPKsHsGKpszsKsHsGnjjmii3根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重根，必同时满足和。因此求得：消去，可得到：便于忘记，上式又可写成：或以上分析没有考虑(且为实数)的约束条件，所以只有满足的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。0)(1sf0)(1sf0)()(0)()(11sQsPKsQsPK1K0)()()()(sQsPsQsP0)]()([11dssHsGd0)]()([dssHsGd01K01K4例:设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故s1舍去；s2代入，求得K＞0。所以s2会合点。()Rs()Cs12(2)22Ksss22)2()()(21sssKsHsG0)22(24222)]()([222211sssssssdsdsHsGdsd414.3586.021ss(舍去)5检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点)之间；则个分离点(会合点)。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。ReIm0[]sjj1210K10K3.4141K1K6ReIm010K10K10K10K1K1K1K1K分离点分离点Re10K10K10K10K1K1K1K1KIm0四重分离点复数分离点7另外两种表达形式：(1)因为令,即得到)()(1sPsQK)(2)()()()(1sPsPsQsPsQdsdK01dsdK0)()(1sQsPK0)()()()(sQsPsQsP01dsdK0)()()()(sQsPsQsP8仍以上例说明:因为令求得0)22()2()()(121sssKsHsG22221sssK0242ss414.3586.021ss()Rs()Cs12(2)22Ksss01dsdK(舍去)9(2)因为即其中即所以-njimiipszs1111)()()()(sQsQsPsP)]([ln)]([lnsQdsdsPdsd)())(()()())(()(2121nmpspspssQzszszssPnmpspspssQdsdzszszssPdsd111)]([ln111)]([ln2121njimiipszs11110)()()()(sQsPsQsP10仍以上例说明:因为消去分母解上式得到经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定要检验，舍去K＜0所对应的值。()Rs()Cs12(2)22Ksssjsjss1111210242ss414.32s（舍去）586.01s11复杂情况用试探法。在-2-3之间存在一个分离点。所以分离点的位置为ReIm01233121111ssss5.2s4.067.0,35.2125.215.2115.21?4.2s247.1715.047.2s347.21247.2147.21147.21635.068.047.2s34.2124.214.2114.21?127、根轨迹的出射角与入射角若根轨迹的一个分支离开复极点的出射角为，则（各零点到的向量幅角之和）（其它各极点到的向量幅角之和）若根轨迹的一个分支终止于复零点的入射角为，则(各极点到的向量幅角之和)(其它各零点到的向量幅角之和)apa)12(180kaiminajjjik11)12(180bzbjimbiiinjjk11)12(180apap)12(180kbbzjbz13出射角(或入射角)是指根轨迹离开复极点(或终止复零点)处切线的倾角。在根轨迹曲线上取试验点s1，与复极点-pa的距离为。当时，可近似地认为s1在切线上，切线的倾角就等于复极点的出射角。所以的出射角:ReIm01s1p2p3pap123aA11z0)12(180)90(311kaaak2311)90()12(180a148.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程的值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。介绍常用的三种方法。(1)利用特征方程求取。用替代s，令虚部、实部分别等于零，求得和对应的K1。(2)利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。(3)利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验选择满足幅角条件的试探点求出，再利用幅值条件确定交点处的K1值。)()(1jHjGjjj15解：起点：0－3－1＋j－1-j终点：∞∞∞∞(1)渐近线：n-m=4条。倾角：与实轴的交点：(2)实轴上的根轨迹：)22)(3()()(21ssssKsHsG135,454)12(180)12(180kmnk25.14)1()1(300)(4321jjmnpppp例试绘制根轨迹图1617(3)分离点：试探法求得(4)–p2出射角:-p1,-p3,-p4到-p2的幅角分别、、.所以同理不难求得极点-p3处的出射角：(5)根轨迹与虚轴的交点：方法一：由特征方程求：特征方程：01111311jsjsss3.2s31356.26906.71)906.26135(18036.71406851234Kssss0)6-5()8(3124jKjs18实部方程：虚部方程：解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列令s1行首项为零，即求K1=8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程08124K0653(舍去)16.81K10111231434/)25204(5/346581KsKsKssKs034252041K053412Ks1.11.131.1201199.根轨迹的走向当n-m≥2满足时，随着K1增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。开环传递函数：特征方程：当满足n-m≥2时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把称之为极点的“重心”。)()()()()()(111nmpspszszsKsHsGnjnjjnjnmimimmimpspszszsK1111111)(njnjjnjnpspssHsG111)()(1mimimmimzKszKsK111111njinp1/20当K1变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动.例))()(()()(4321PsPsPssKsHsGReIm01p2p3p4p2110.根轨迹上K1值的计算根轨迹上任一点S1处的K1可由幅值条件来确定。即=mnzszspspssHsGK1111111111)()(1所引向量长度的乘积零点至所引向量长度的乘积极点至11111111)()()()(ssHsGssHsG22例:系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定时K1的值。解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。(1)渐近线：3条。渐近线的夹角：渐近线与实轴的交点：（2）分离点：即（舍去）)6)(4()()(1sssKsHsG5.0180,6013)12(180k33.330)640(061411sss57.11s1.52s0242032ss23（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得实部方程:虚部方程：解得：(舍去)（4）确定时的K1值：过原点作OA射线交根轨迹于A，使得，测量得:求得js01012K02432409.41K001K5.0605.0cos1AOC5.3,3.5,4.2ACABOA5.4413.55.34.21K24A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1=44.5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。1.22.11js6.71.22.132sjsReIm07.6641.571.25.33.52.44.32.160144.5K1240KA144.5KBC25绘制根轨迹图的十条规则序内容规则1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（nm）3对称性对称于实轴4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：5实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数mnzpnimjji11mnk)12(18026序内容规则6分离（回合）点实轴上的分离（会合）点——（必要条件）7出射角入射角复极点处的出射角：复零点处的入射角：8虚轴交点（1）满足特征方程的值；（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；9走向当时，一些轨迹向右，则另一些将向左。10K1计算根轨迹上任一点处的K1：00)]()([111dsdKdssHsGd或11180(21)mnaijijjak11180(21)nmbjijiibk1()()0GjHjj1,2Kmn111111()()sKGsHss开环极点至向量长度的乘积＝开环零点至向量长度的乘积27一、复域分析1．稳定性分析：当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。2．稳态性能分析：系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，ess越小，稳态性能也越好，但K1