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关于圆锥曲线张角为直角的弦所在的直线过定点的证明梁关化,2016,03,09真命题:设点00(,)Pxy在圆锥曲线上,且为直角的顶点。1)椭圆22221(0)xyabab张角为直角的弦所在的直线过定点00(,)txty,其中2222abtab;2)双曲线22221(0,0,)xyababab张角为直角的弦所在的直线过定点00(,)txty,其中2222abtab;3)抛物线22(0)ypxp张角为直角弦所在的直线过定点00(2,)pxy。证明如下:1)如下图设11(,)Axy,22(,)Bxy,直线AB的方程为xkym(注:这样设是为了免去直线斜率不存在的讨论)654321-1-2-3-4-5-10-8-6-4-224681012BDPA解方程组:22221xyabxkym,消去x后并整理得222222222()20akbymkbymbab从而有2122222mkbyyakb(1),222212222mbabyyakb(2)又11xkym,22xkym故又有1212()2xxkyym(3),22121212()xxkyykmyym(4)由PAPB得01020102()()()()0yyyyxxxx展开得22012012012012()()0yyyyyyxxxxxx(5)把(1)(2)(3)(4)代入(5)并按m整理得2222222000000()2()()()()0abmkbyaxmabxkyxky分解得22220000()()()()0abmabxkymxky解得220022()()abxkymab,或00mxky(舍去,此时点P在直线AB上,不合题意)故直线AB的方程为220022()()abxkyxkyab变形为2222002222()()()abxabyxkyabab由此可知张角为直角的弦所在的直线过定点2222002222()()(,)abxabyabab2)如下图(证明过程类比椭圆,详解过程略)3)如下图设11(,)Axy,22(,)Bxy,直线AB的方程为xkym(注:这样设是为了免去直线斜率不存在的讨论)解方程组:22ypxxkym,消去x后并整理得2220ypkypm从而有122yypk(1),122yypm(2)又11xkym,22xkym654321-1-2-3-4-5-6-10-8-6-4-224681012L1BDPA654321-1-2-3-4-5-10-8-6-4-224681012BDPA故又有1212()2xxkyym(3),22121212()xxkyykmyym(4)由PAPB得01020102()()()()0yyyyxxxx展开得22012012012012()()0yyyyyyxxxxxx(5)把(1)(2)(3)(4)代入(5)并按m整理得2000002()(2)()0mpxmxkypxky分解得0000(2)()0mxkypmxky解得002mxkyp,或00mxky(舍去,此时点P在直线AB上,不合题意)故直线AB的方程为002xkyxkyp变形为00(2)()xpxkyy由此可知张角为直角的弦所在的直线过定点00(2,)pxy
本文标题:关于圆锥曲线张角为直角弦所在的直线过定点的证明
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