第八章--槽道内层流流动与换热

第八章槽道内层流流动与换热本章将讨论由壁面形成的槽道内的流动摩擦和流体与槽道壁面间的传热问题，即槽道内的流动阻力或压降如何？垂直于流动方向的传热系数或热阻的确定。本章值得特别指出的一个重要问题是充分发展流动与换热。传统的充分发展流概念，总是与自维持相关，用于处理N-S方程，然而这并不能明确地说明这一概念。本质上，充分发展流是外部流动问题的边界层理论的发展或延续。其目的是相同的，均将流动的研究限于局部区域(分为两个区域)，使问题的分析简化。8-l进口段和充分发展流8-1-1进口段将积分方法应用于槽道内。如图8-1所示，两个平行平板形成一个二维槽道，流体进口速度为U。讨论的重点是壁面摩擦力及槽道内的速度分布。Sparrow给出了该问题较详细的积分求解过程。前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因而可以预测，速度边界层在距离槽道入口不远处形成。在入口处与外部流动完全相似，边界层厚度的增长只能达到D/2。之后，上、下边界层将相遇，这样槽道内的流动可以分为两个明显不同的区域。第一个区域称为入口段或发展段，在壁面附近存在边界层，两个边界层之间为无粘流动，与外部流动问题十分接近；边界层闭合之后的区域为第二个区域，槽道内不存在无粘区，粘性区域充满整个通道，已不再是边界层流动。由布劳修斯解可以估算入口段长度：(8-l-l)0.01ReDxD8-l进口段和充分发展流图8-1两平行平板间层流流动边界层的形成与发展8-l进口段和充分发展流与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入核心区使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓，但每个流动断面的质量流量ρUD是相同的。在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到，即(8-1-2)其中Uc为核心无粘区的流速。值得注意的是，Uc＝Uc(x)，与外掠平板状况有所不同。同样，采用积分方程可以得到(8-l-3)由质量守恒得到(8-l-4)10ccdUdpUdxdx200()()()cccyDdUduUuudyUudydxdxy202DcDudyUdyU假设边界层内充分发展流速度分布为二次方多项式(8-l-5)求解式(8-1-3)和式(8-1-4)得到(8-l-6)即(8-1-7)8-l进口段和充分发展流22()cuyyU3(1)2cUDU()3(1)2cxUDU令得到(8-l-8)和与式(8-1-1)比较不难看出，无论积分方程，还是相似解，得到的流动入口段长度属同一数量级，它与DReD之比均在10-2数量级。8-l进口段和充分发展流()2xD3()2cUxU0.026ReDxD流动入口段与充分发展段的根本区别，可以进一步用壁面摩擦切应力沿流动方向x的变化来解释。局部摩擦系数的定义为(8-1-9)其中代入式(8-l-6)，(8-l-8)，得到(8-l-10)在入口段区域，局部摩擦系数Cf,x随x增加而减小，原因是随边界层加厚，速度分布趋缓，在壁面处的速度梯度逐步减小。但需要强调的是，核心速度Uc随x增大。对于充分发展段，由于速度分布已定型，与x无关，因而Cf,x也不随x变化。8-l进口段和充分发展流,2()12wfxxCU2()wDyuy,8(1)Re3tcfxDcUUCUU8-1-2充分发展流动考虑图8-1所示的二维稳态流动的连续性方程与动量方程(8-1-11)(8-l-12)(8-l-13)假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动方向的速度。在断面上变化，法向速度v可以忽略。由方程(8-1-11)得到(8-1-14)8-l进口段和充分发展流0uvxy22221()uupuuuvxyxxy22221()vvpvvuvxyyxy0,0uvx通常，上式被认为是充分发展流的定义和起始点，但更主要的是式(8-l-14)的量级基础。充分发展流区域中，y方向的数量级是槽道宽度D。由连续性方程可知。v～DU/L，而LD，可以忽略。而对于流动入口段，y的数量级是δ(随x变化)，因而v和u/x均不能忽略。将式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到(8-l-15)表明压力p只是流动方向x的函数，这一点与外掠平板的边界层分析是类似的，即在流道断面上压力是均匀一致的。进一步，由式(8-1-14)得到(8-l-16)上式左、右侧分别是x和y的函数，因而只能等于一个常数。8-l进口段和充分发展流0py222Dydpudxy常数考虑壁面处非滑移条件和轴对称条件：(8-1-17)求解式(8-1-16)即得到著名的二平行平板间流动的哈根-泊肃叶速度分布(8-1-18)速度分布是抛物线型。8-l进口段和充分发展流0,02uyDyuy=0,2231()22()14yuUDDdpUdx一般式(8-1-16)可以表示为(8-l-19)式中，对于圆管内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为(8-l-20)8-l进口段和充分发展流2dpudx常数220ux202021()()8ruUrrdpUdx8-2-1充分发展流的速度分布和摩擦系数当流体的物性不随温度、压力变化时，速度场与温度场是非藕合的。求解速度场时不需考虑温度分布，可以单独求解。上一节已求出的平均速度U表示的圆管内充分发展流动的速度分布(8-1-20)，即进一步可以得到壁面处的摩擦应力当量(8-2-l)由壁面摩擦系数定义8-2充分发展流的流动与换热2021()ruUr004wrrduUdrr212wfCU得到(8-2-2)通常，在讨论槽道流时经常使用阻力系数，并定义为(8-2-3)考虑平均速度定义式(8-1-20)，即得到(8-2-4)因而(8-2-5)8-2充分发展流的流动与换热02048161Re2fUrCUrU2()12dpdxDfU208rdpUdx64Ref4ffC8-2充分发展流的流动与换热8-2-2充分发展管内层流的换热1.平均温度管流换热的基本问题是流体与壁面间的温差和流体与壁面间的传热速率。为不失一般性，考虑如图8-2所示的管内流动，其平均速度为U,半径为r0。根据热力学第一定律,稳态时壁面对流体的加热率等于流体焓的增加，即(8-2-6)假定流体为理想气体，，或为不可压缩流体，dh≈cdtm，上式转化为(8-2-7)02()mxdxxqrdxqhhpmdhcdt02mpdtqdxrcU8-2充分发展流的流动与换热图8-2管内流动换热8-2充分发展流的流动与换热式中，控制体的温度tm是流体的截面平均温度，但流动断面上的流体温度并非均匀一致。某一断面上任一点的温度t(x,r)一定与截面平均温度tm(x)存在一定关系，但tm不是任何其它形式的平均，而是热力学定义的主体流动的平均温度。考虑某一断面的热力学第一定律(8-2-8)将式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得(8-2-9)常物性时(8-2-10)本节开始已述，管流的基本问题是流体与壁面间温差与传热速率的关系，牛顿冷却公式中采用t＝tw－tm，感兴趣的是得到对流换热表面传热系数(8-2-11)02pAqrdxductdAmppAtcUAductdA0220001rmtutrdrdrU0()rrwmwmtrqhtttt8-2充分发展流的流动与换热2.充分发展的温度分布从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为(8-2-12)由充分发展流的定义知，v＝0，u＝u(r)，则上式简化为(8-2-13)上式表明了能量的平衡，它包括轴向对流、径向导热和轴向导热，由式(8-2-7)知(8-2-14)相对应项的数量级为对流项～导热项径向～轴向(8-2-15)22221()tttttuvaxrrrrx22221()ttttuaxrrrx()ptqDcUx()pUqaDcU2tD1()pqxDcU8-2充分发展流的流动与换热考虑流体与壁面的传热是依靠壁面处的导热，因而轴向导热不能忽略。对流项可应用牛顿冷却公式，简化为，轴向导热为。对于的情况，轴向导热可以忽略，得到，即Nu～1。注意，1是指的数量级。不难推出，时能量方程简化为(8-2-16)2tDhD22()()hDaUD1DUDPea?~1hD2tD1DUDPea?221utttaxrrr8-2充分发展流的流动与换热对于充分发展流，U=U(r)与x无关。的数量级为，即热扩散的影响到达中心，这一点不适用于热进口段。因为，此时，而tD。对于热充分发展区域，有Nu=常数=0(1)。通常认为，充分发展的温度分布定义为(8-2-17)其中t，tw，tm均是x的函数,上式定义来源于Nu～1，而(8-2-18)22tr2tD222~tttr0()wwmttrttr0()wwmttrttr8-2充分发展流的流动与换热因此(8-2-19)无疑在x方向的变化与tw－tm的变化是相同的，因此是x和r的函数，即(8-2-20)积分上式得(8-2-2la)其中f2、f3分别是r/r0和x的函数。上式本质上与式(8-2-17)一样。0()rrwmtrNuDtt010()()(1)()()wmtrrrfOtxtxr2300(,)()()()wmrrtxttffxrr8-2充分发展流的流动与换热3.常热流密度条件下的换热由式(8-2-17)，有(8-2-2lb)考虑常热流密度，，代入上式，有(8-2-22)进一步，有(8-2-23)0(,)()()()()wwmrtxrtxtxtxr()wmqhtt0(,)()()wqrtxrtxhrwdttxdx8-2充分发展流的流动与换热将Nu=hD/～1改写为(8-2-24)考虑上式与x无关，有(8-2-25)联合式(8-2-8),(8-2-25)，得(8-2-26)上式表明，在流通截面上任一点的温度随x的变化是线性的，与热流密度成正比。温度沿径向变化，其无量纲分布可以通过求解能量方程获得。1()wmqDttwmdtdtdxdx02ptqxrcU常数8-2充分发展流的流动与换热将式(8-2-21)和式(8-l-20)代入式(8-2-13)，得(8-2-27)其中。考虑Nu=hD/，积分式(8-2-27)，且r=0时有界，得(8-2-28)因r＝1时t＝tw，确定c2后得到(8-2-29)由热力学第一定律，得到平均温差(8-2-30)2221(1)ddrdrrdrhD-20rrr2222()416rrcNu223()()828wwmrrttttNu021220001()4()(1)rwmwwtttturdrdttrrdrrU8-2充分发展流的流动与换热将式(8-2-29)代入式(8-2-30)，得(8-2-31)即(8-2-32)式(8-2-32)的结果与前面量级分析的结果是一致的。采用直接求取温度分布，通过傅里叶定律和牛顿冷却公式的方法亦可得到同样结果。4.常壁温条件下的换热考虑圆管壁面温度tw不随流动方向x变化的情形，如图8-3所示，温差或热流密度随x下降。牛顿冷却公式