健华《信号与系统》电子课件_习题课讲稿(期中考试_CV)

1信号与系统习题课教师：陆建华助教：陶晓明陈为刚清华大学电子工程系2005/4/822nnnajbF−=*nnFF−=具有性质：，一、判断1、实周期信号的指数形式傅立叶级数的系数nnab其中和分别为信号余弦分量和正弦分量的幅度。由P91，利用an是n的偶函数，bn是n的奇函数的性质3()()()()01001011112cos2sintTnttTntaftntdtTbftntdtTωω++==∫∫由于：*22nnnnnnnnnnaabbajbajbFF−−−−−==−−+===于是：所以，命题正确。42、奇函数与奇函数的卷积是奇函数。如果是判断题，只需举出一反例即可如果是证明题，则需要严格证明错。是偶函数5()()()()()323tfttfttfttδδ′=′′∗==为奇函数，令，显然也为奇函数由于：为偶函数所以命题不正确。63、设系统的输入为x(t)，2()(1)tytext−=−输出为，则该系统是时变因果系统。判断因果系统：现在的响应是否等于现在的激励＋以前的激励判断线性系统：先线性运算，再经系统是否等于先经系统，再线性运算判断时不变系统：时移，再经系统是否等于先经系统，再时移74、已知系统微分方程为222()3()4()()dddrtrtrtetdtdtdt++=(0)1r−=(0)1r−′=()()etut=则此系统的各起始条件在起始点都没有发生跳变。作业原题85、33sin(),1()()0,tXxttωωω⎧≤⎪==⎨⎪⎩与其它构成傅立叶变换对。由于是判断题，所以只需检验特殊点。针对此题，我们检验0点，x(t)为非负信号，必有直流，而题给频谱0点却为0值，由此发现矛盾,所以命题不正确。96()()ftFs、的拉氏变换是51()Fsss=+若，()lim11ttfte−→∞=+则()()()()0400limlim1limlimlim111tsttssftsFsftsFses→∞→−→∞→→=∴===++如果使用终值定理，可得：是否正确？10错。特别注意终值定理的应用条件：仅当sF(s)在s平面的虚轴上及其右边都为解析时，终值定理才可应用。而题中sF(s)在右平面上有两个不解析点，f(t)为振荡波形11二、()xt()Xω()Xωω242−4−24已知信号的频谱如图2所示：试求信号时域波形的表达式。()xt12该图为两个三角频谱相减而成，即12()()()XXXωωω=−ω()Xω13另解：感兴趣的同学可以课下练习()Xωω242−4−242−14三、对图3所示系统∑∫()et∫∑()rt1)求系统函数H(s)及冲激响应h(t)；2)若输入0()cos()()2ntettnTTπδ∞==−∑试画出系统零状态响应r(t)的波形。15四、系统用微分方式表示如下：222()()()()2dytdytdxtaytadtdtdt++=其中a为实数1）试求输入输出间的传输函数H(s)；2）画出系统的零、极点图并标示出系统的收敛域；3）画出a=0.5时系统频率响应的幅频特性，并说明该系统是何种系统（低通、带通、高通、带阻等）。16第五题：非均匀抽样问题考察非均匀抽样间隔系统，如图5.1所示：()xt()st()ft1()yt()Hω2()yt3()yt()zt17假设：i)()Xωωmω−mω()xt2mmfωπ=是带限的，截止角频率为其频谱为如图5.2所示的三角形状；18()st14mTf=ii)是非均匀间隔的周期单位冲激序列，如图5.3所示，其中()stt1mTf+1mTf−+T1mf1mf−()costftTπ=,0()0,0,0jHjωωωω⎧⎪==⎨⎪−⎩iii)其中1j=−191()()mnsttfnδ∞=−∞=−∑1)设11()()()stststT=+−则111(){()}{()}{()}{()}(1)jTjTSFstFstFsteFsteωωω−−==+=+(1)()jTmmnenωωδωω∞−=−∞=+−∑1()4mTtfδ=代入，并利用的性质，得/2()(1)()jnmmnSenπωωδωω∞−=−∞⎡⎤=+−⎣⎦∑(1)()nmmnjnωδωω∞−=−∞⎡⎤=+−⎣⎦∑试求：1）()st的傅里叶变换()Sω()stt1mTf+1mTf−+T1mf1mf−20()()stft由于抽样信号的作用，只在抽样的取值有意义()()stft2()Sω(0)1,()1ffT==−21111()()()()(0)()()()()ststftstfstTfTststT==+−=−−因此，同理可得：2()(1)()nmmnSjnωωδωω∞−=−∞⎡⎤=−−⎣⎦∑2）的傅里叶变换()costftTπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠()stt1mTf+1mTf−+T1mf1mf−2123()()()ztytyt=+23()()()ZYYωωω⇒=+221(){()}{()*()}YFytFythtω==1(){()}(){()()()}HFytHFxtstftωω==⋅[]2()()*()2HXSωωωπ=33(){()}{()()}YFytFxtstω==⋅1()*()2XSωωπ=23()()()YYZωωω将和代入表达式，得()zt[2,2]mmωω−()Zω3）试画出在频率范围内的幅度频谱()xt()st()ft1()yt()Hω2()yt3()yt()zt2222()()()*[()()()]*[()()]22XXZHSSjSSωωωωωωωωππ=+=±+00ωω时取“＋”号，时取“－”号2()()jSSωω±+(1(1))()nmmnjjjnωδωω∞−=−∞⎡⎤=±+−⎣⎦∑∓()()ZXωω为与一具有复系数的脉冲所以，串相卷积[3,3]mmωω−在范围内的脉冲串系数为：[(22)20202(22)]322023mmmmmmmjjjjωωωωωωωπ−−+×↑↑↑↑↑−↑−↑−,0()0,0,0jHjωωωω⎧⎪==⎨⎪−⎩23[]3,3()()mmZωωω−故得到在频率范围内的幅度频谱图中黑实线()Zωωmω−mω3mω2mω2mω−3mω−/mωπmω可见，用截止角频率为的理想低通滤波器即可滤出没有混叠的原信号频谱，从而实现了信号的恢复。[(22)20202(22)]322023mmmmmmmjjjjωωωωωωωπ−−+×↑↑↑↑↑−↑−↑−()Xωωmω−mω24作业题：4－34（2）解法一：()()()111ssTEetEseseτ−−=−−周期信号的拉氏变换为：()1,HssRCααα==+系统转移函数为：其中()()()()()11sosTEeVsHsEssseταα−−−==⋅+−因此，完全响应为：()()()()1,1otoTsEekVsksVsseαταααα−−=−−==+=−+−瞬态响应由系统转移函数的极点决定，故可设为：()()()11totTEeVteuteαταα−−−−=−⋅−25()()()()()()()()()()11111111111111111sosootTsTsosTsTEeEeVsVsVssseseEeEeVsssseeEEesssessταταταταατταααααααααα−−−−−−−−−−−−=−=⋅+⋅++−−−−=⋅+⋅++−⎛⎞−⎛⎞⎜⎟=−+⋅−−⎜⎟⎜⎟++−+⎝⎠⎝⎠这样，稳态响应为：若只考虑第一周期内的稳态响应，则有：()()()()()11111TtTosTeVtEeutEeuteαταταατ−−−−−−⎡⎤−⎡⎤=−−−−⎢⎥⎣⎦−⎣⎦于是，()()()()(){}101ososnVtVtnTutnTutnT∞==−−−−+∑故稳态响应为：26求第一周期稳态响应解法二：()()()()()()()00oooooVssVsVEsEsVVsssααααα−−+−=∴=+++取拉氏变换，得：()()()()()()1,oooodVtVtRCetdtdVtVtetRCdtααα⋅===列写电路微分方程，＋令则方程为：＋[]-T+由于该电路对周期信号的稳态响应仍是一个周期信号，因此可以只考虑第一个周期0内信号作用的结果。[]()()()()()-11T1setEututEesesττ−=−−⎡⎤⎣⎦∴=−+在第一个周期0内的激励信号为：27[]()()()()-1T0011111oossosVVEVseEEessssssssτταααααα−−−−⎛⎞⎛⎞=⋅−+=−−−+⎜⎟⎜⎟+++++⎝⎠⎝⎠+因此，在第一个周期0内的稳态响应为：()()()()()()1101tTTosoVtEeVeutEeutαταατ−−−−−⎡⎤⎡⎤=−+−−−⎣⎦⎣⎦于是，()()()()()()()()()()()002020oooooooooVVVTVTVVTVTVVT−+++−−−+−======确定稳态初值要利用两个条件：1对稳态响应，响应中任一周期的初始值必然相等，即：2、满足第一周期内同一个微分方程的解。()()()()()()()()()()()()()()()11010011111TTToooTToooTTtTosTVTVTEeVeEeEeeVTVVeeVtEeutEeuteαταααταααταταατ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎡⎤=−+−−⎣⎦−=∴=−⎡⎤−⎡⎤=−−−−⎢⎥⎣⎦−⎣⎦∵由于满足微分方程的解，又故，28补充题目29sin'()'()xxxδδ⋅一、计算，其中为冲击偶本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。30()'()(0)'()'(0)()fttftftδδδ=−1、直接法：利用P79页冲击函数性质（2-89）31())('sin)(cos')(sinxxxxxxδδδ+=2、间接法：sin()0()0(sin())'0sin'()0cos()()xxxxxxxxxxδδδδδδ=⋅=∴=⇒=−=−∵32()ft1()(cos)()2tfteutut−=请画出二、波形。2π92π72π52π32π()ft()()tfteut−=1()(cos)2ftut=2π92π72π52π32π1()(cos)()2tfteutut−=33()()()212Fjuftωω=−频谱函数的原函数＝_______三、本例目的在于熟悉并正确应用傅里叶变换的对称性以及尺度变换特性。34()()1utjπδωω↔+()()12tujtπδπω+↔−()()1122utjtωδπ−↔+()()122utjtωδπ−↔−()()1122111222jtjtutjetjettωδδππ⎛⎞⎛⎞⎡⎤−−↔−=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠35三、设2(),1NjntnNfteNπ−=−=∑为整数1.证明sin(21)()sinNtfttππ+=，并求其周期T；证法一：()()tNttfttNtfππππ)12sin(sinsin)12sin(+=⇔+=∑−=+=NNnnF)2(2)(πωπδω∵()()()sin2(2){[(21)][(21)]}{sin21}NnNFfttjnnjNNFNtππδωππδωπππδωπδωππ=−⎡⎤⎡⎤∴=++−+−⎣⎦⎣⎦=++−+−=+∑()()12cos2112=⇒+==∑∑=−=−TntetfNnNNnntjππ求周期36ttNeeeeeeeeeeeeeeeeeetjtjtjtNjtNjtNjtNjtjtNjtNjNtjtjtjtNjtNjtNnjtNjNNntnjππππππππππππππππππππsin)12(sin][][1)1(])()(1[122222221221221222)1(222222222)1(222+=−−=−−=++++=+++++=−−−+−++−−+−−−−−−−=−∑证法二：372、N＝3时，请画出的大致波形（注明幅度及关键时间值）()ft383、111lim(),(,)22()10t2Nfttft→∞⎧∈−⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，验证1()ft是否定义了一个()tδ？()0(t0)()1ttdtδδ∞−∞=≠⎧⎪⎨=⎪⎩∫证明满足狄拉克定义：1011()0