偏导数与全微分习题

偏导数与全微分习题1.设yxyxyxfarcsin)1(),(，求)1,(xfx。2.习题817题。3.设0001sin),(222222yxyxyxyyxf，考察f(x,y)在点（0,0）的偏导数。4.考察0001sin),(222222yxyxyxxyyxf在点（0,0）处的可微性。5.证明函数0001sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f(x,y)在点（0,0）可微。1．设yxyxyxfarcsin)1(),(，求)1,(xfx。yyxyxyyxfx1)(2111)1(1),(21∴1)1,(xfx。2.习题817题。17.设22)()(lnbyaxz（a,b为常数），证明02222yzxz。先化简函数))()ln((2122byaxz，2222)()()()()()(221byaxaxbyaxaxxz，2222)()()()()()(221byaxbybyaxbyyz，22222222))()(()(2)()(byaxaxbyaxxz22222))()(()()(byaxaxby，22222222))()(()(2)()(byaxbybyaxyz22222))()(()()(byaxbyax，∴02222yzxz。3.设0001sin),(222222yxyxyxyyxf，考察f(x,y)在点（0,0）的偏导数。由偏导数定义可知00lim)0,0()0,(lim)0,0(00xxxxfxff，2001sinlim)0,0(),0(lim)0,0(yyfyffyyy不存在。4.考察0001sin),(222222yxyxyxxyyxf在点（0,0）处的可微性。由偏导数定义可知0)0,0()0,(lim)0,0(0xfxffxx，0)0,0(),0(lim)0,0(0yfyffyy，则dz=0,22)()(1sin)0,0(),(yxyxfyxfdzf要讨论在（0,0）点可微性，即讨论极限dzf0lim是否趋于0，0)()()()(1sinlimlim222200yxyxyxdzf，这是因为22222222)()()()(21|)()()()(1sin|yxyxyxyxyx22)()(21yx∴f(x,y)在点（0,0）处的可微4.证明函数0001sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf在点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f(x,y)在点（0,0）可微。（1）连续|1sin)(||)0,0(),(|2222yxyxfyxf||22yx，故f(x,y)在（0,0）点连续；（2）偏导数存在由偏导数定义0||1sin)(lim)0,0()0,(lim)0,0(200xxxxfxffxxx同理0)0,0(xf，偏导数存在；（3）偏导数在（0,0）点不连续当022yx时2222221cos1sin2),(yxyxxyxxyxfx，而220021cos||221sin2lim),(limxxxxxyxfxyxyxxx极限不存在，故),(yxfx在（0,0）处不连续；同理，),(yxfy在（0,0）处不连续；（4）可微由（2）可知:dz=0,)0,0(),(fyxfdzf2222)()(1sin))()((yxyx,22222200)()()()(1sin))()((limlimyxyxyxdzf0)()(1sin])()[(lim2221220yxyx,∴f(x,y)在（0,0）点可微。