高等传热学课件对流换热-第2章-5

2-5管槽内层流入口段换热一、入口段长度和阻力变化1.平行平板通道对平行平板通道，情况最简单，可利用平板层流绕流的Blasius解。Lxby∞ux()Uδδ对每一侧平壁，与平板层流边界层类似，利用Blasius解：1122()4.92Re4.92()xuxxxδν−−∞==当bxδ=()2时，边界层开始汇合，流动开始进入充分发展段，则：122492uLb.()Lν−∞=解出:bLb=0.0103Re(2.5.1)这里，0Rebubub∞==νν∆上述分析中忽略了一个主要事实:通道内流动与平壁绕流并不完全相同，其中心势流区的流速是不断增加的，而非等于入口来流。1955年Sparrow在一篇NASA报告中，指出了上述缺陷，然后用动量积分方程考虑了势流区的加速度，推导出较准确的入口段长度。边界层内动量方程为：=∂−⋅+−=∂∫∫000()[()][()]yddUxuUxuudyUxudydxdxyδδν(2.5.2)其中，()Ux为势流区速度。考虑连续性:+=∫∫20()2bbudyUxdyuδδρρρ∞(2.5.3)假设：2(,)2()()()uxyyyUxδδ=−，可解出:=−−−⋅3()()[92716ln]Re160()buxUxUxbuUxu∞∞∞(2.5.4)=−()3[1]()uxxUxδ∞(2.5.5)当xL=时，()2bxδ=，则32()ULu∞=(2.5.6)这与层流充分发展流中，max32uu=一致。说明，当xL=时，()2bxδ=，势流区被压缩为轴线位置，流速被加速至最大值。将3()2∞=ULu代入(2.5.4)，得到xL=值0.0065RebLb=(2.5.7)Sparrow的解比直接用Blasius解得出的L长度小37%。由Sparrow的解，可得：−⋅=−18()Re[1]3()fbuUxCuUx∞∞(2.5.8)将上式绘成曲线，如图。从图中曲线可见：在充分发展段：Re12fbC⋅=，而起始段fC明显大于充分发展段，且随x增大而减小。则入口段的压降较充分发展段要大，多出的压降是用来将入口处的均匀流速u∞加速bxbRe⋅12210−310−410−10fbCRe⋅100Sparrow解Blasius解成Poiseuille分布所消耗的压力能。2.圆管层流入口段对圆管内层流入口段长度，兰哈尔(H.L.Langhear)采用与Sparrow类似的方法进行了求解。如图dxdRe⋅160.1Langhear解210−310−10fdCRe⋅1000.05当0.05Redxd=⋅时，RefdC⋅的值与充分发展流时的Re16fdC⋅=相差不到2%。一般认为，层流时圆管内流动入口段长度为：0.05RedLd=(2.5.9)若要误差1%：0.0575RedLd=(2.5.10)3.其它截面形状通道入口段对其它截面形状的通道，可用类似方法求解。入口段长度L值仅与Re数有关。即：RedLCd=⋅(2.5.11)二、流动与热充分发展段间的关系有以下三种情况。1).速度分布与温度分布均已发展。如：1-1截面后，这时，0ux∂=∂，∂=∂0xΘ。δTδ321x这种情况下的对流换热求解最简单，Nu=常数。2).速度分布已充分发展，温度分布正在发展。如：2-2截面后，这时，0ux∂=∂，∂≠∂0xΘ。此情况下，求解复杂，()Nufx=。3).速度分布和温度分布均处于正在发展阶段。如：3-3截面前。称为“混合入口段”，求解十分困难，需数值解。对常见情况，Pr5时，δ发展快于Tδ，在离入口段一段距离后，即可认为速度分布已充分发展。由于温度分布依赖于速度分布，一般不可能出现温度分布已充分发展，而速度分布仍在发展的情况。对液态金属，其Pr数很小，热扩散速度远大于动量扩散速度，其温度分布发展很快，在流动未充分发展前，温度分布非常接近于充分发展，并未完全充分发展。通常，将其视为充分发展。三、圆管内充分发展流热起始段换热流动已充分发展，但热状况正在发展的情况。对圆管内常物性、不可压缩牛顿流体的层流对流，忽略体积力与粘性耗散，无内热源，在速度分布已充分发展的热起始段，忽略轴向导热（？合理性）。其能量方程为：()TaTurxrrr∂∂∂=∂∂∂(2.5.12)形式上，该方程与热充分发展段的能量方程相同，但∂≠∂0xΘ，使求解难度增加。该问题最早是由格雷茨(L.Gratz)在1885年首先求解的，常称为Gratz问题，1910年Nusselt在不知情的情况下又进行了求解。1.wTconst=情况引入无量纲量：−=−wwinTTTTΘ，rRη=，==⋅⋅RePrxRxRPeξ能量方程转化为无量纲形式：∂∂∂+=−∂∂∂2221(1)ηηηξηΘΘΘ(2.5.13)边界条件为：∂==∂0,0θηη(轴对称性)==1,(,1)0ηξΘ(wTT=)==0,(0,)1ξηΘ(=inTT)该方程可用分离变量法求解。令=()()YZηξΘ则无量纲能量方程(2.5.13)变换为：2221111()1YYZYZηηξηη∂∂∂+⋅=⋅∂∂∂−⇒两个常微分方程。∵0Zξ∂∂，有⎧=−⎪⎪⎨⎪+⋅⋅=−⎪−⎩222221111()1dZZddYdYdYdλξληηηη⇒⎧+=⎪⎪⎨⎪++−=⎪⎩2222201(1)0dZZddYdYYddλξληηηηλ称为本征值。可得(,)ξηΘ通解为：λξηΘ20()nnnnCYe∞−⋅==⋅∑(2.5.14)式中，本征函数η()nY是带权函数ηη2(1)−的正交函数。系数nC为1201220()(1)()(1)nnnYdCYdηηηηηηηη−=−∫∫(0,1,2,3......)n=局部对流换热系数为：ηλληΘ1winxwrRTTThTwTrRTT==−∂∂=−⋅=⋅⋅−∂−∂将Θ的解代入，可化简为：222004nnnxnnnnGhGeeRλξλξλλ∞∞−⋅−⋅===⋅⋅∑∑(2.5.15)∞−⋅=∞−⋅=⋅⋅==⋅∑∑22020212nnnxnxnnnGehRNuGeλξλξλλ(2.5.16)式中，Gratz基本函数nG为：'1(1)2nnnGCY=−。本征值nλ及Gratz基本函数值nG为：n=n=n=n2−=======+=2221230,7.312,0.7491,44.62,0.5442,113.8,0.4638,4,1.012763时时时时nnnnnnnnnGGGnGλλλλλ(2.5.17)由此，解出的xNu随的ξ变化为：==============00.00112.800.016.000.044.170.083.770.13.710.23.66，，，，，，，xxxxxxxNuNuNuNuNuNuNu∞ξξξξξξξ0.10ξ后，若对xNu表达式中的级数只取一项，有20202000203.65622()xGeNuGeλξλξλλ−⋅−⋅⋅===⋅(2.5.18)上式表明：当0.10ξ后，若级数仅取一项，xNu与x及Pe数无关，为一常数3.656，与wTconst=下热充分发展段的3.657Nu=基本相同，可以认为0.1ξ=时的x值即为热起始段长度。即：0.0.1050.05RePrTTLLPePdRe=⇒==⋅⋅(2.5.19)而流动入口段：0.05ReLd=显然，当Pr1=时,TLL=；当Pr1，TLL。对油类介质换热器，由于Pr数较大，其TL很大。如：对Pr120=，Re500=，3000TLd=。所以，大部分油类介质换热器的管内换热处于热起始段状态。工程上，用带有级数项的xNu表达式不方便。推荐圆管充分发展流热起始段的层流对流换热准则关系式：131.03(RePr)xdNux=⋅⋅(2.5.20)上式适用条件：RePr100dx⋅⋅；定性温度1()2rwfTTT=+，fT管内流体平均温度。上式偏差为3%±。热起始段的平均Nu数准则关系式：230.0668RePr3.6610.04(RePr)dLNudL⋅⋅=++⋅⋅(2.5.21)定性温度：管内流体的平均温度fT。2．wqconst=情况定义无量纲温度−=⋅inwTTqRλΘ，η、ξ定义同前。则能量方程的形式仍为：2221(1)θθθηηηξη∂∂∂+=−∂∂∂R.Siegel用分离变量法及施特姆—刘维尔理论，求出了本征值与本征函数值，进而得出无量纲温度分布为：∞−==⋅++−−∑224117()4()424nnnnCeYλξηξηηΘ(2.5.22)局部xNu数为：214811241(1)11nxnnnNuCeYλξ∞−==+⋅∑(2.5.23)当0.1ξ=时，4.5xNu=，与热充分发展段4.364xNu=相差3.1%。一般近似取0.1ξ=时的x为热起始段长度：0.05RePrTLd=⋅(2.5.24)这与wTconst=情况下的TLd相同。若保证误差1%，则0.07RePrTLd=⋅(2.5.25)即wqconst=时，热入口段长度TL比wTconst=时略长些。工程上推荐的xNu准则关系式为：131.31(RePr)xdNux=⋅(2.5.26)适用条件：RePr1000dx⋅≥，1()2rwfTTT=+当RePr1000⋅时，=+⋅−⋅1314.361.31(RePr)exp(13)RePrxdxNuxd(2.5.27)上述准则关系式与级数解的偏差3%。四、圆管内混合入口段的层流对流换热研究当速度边界层与热边界层同时处于发展中的情况下，其能量方成为：221[()]TTTTuvarxrrrrx∂∂∂∂∂+=+∂∂∂∂∂(2.5.28)需数值求解速度分布后再数值求解温度分布。1955年，Kays对气体(Pr0.7=)在wT=常数与wq=常数情况下的层流混合入口段换热进行了数值求解。1958年，Goldberg进一步完善了Kays的工作。最终结果的定性规律如下图所示：12322181260xNu310−210−0.111xdRePr⋅⋅曲线：1.流动充分发展，wT=常数下的入口段；2.流动与热同时发展，wT=常数下的热入口段；3.流动与热同时发展，wq=常数下的热入口段。可以看出，混合入口段的xNu比流动充分发展时入口段的xNu要大，原因：(1).混合入口段中，速度边界层正在发展，壁面附近速度梯度大，温度梯度也大。(2).混合入口段存在径向速度，即0rv≠，有径向热对流(主要原因)。五、流体物性变化的影响1).速度场与温度场相互耦合，需耦合求解(数值法)。2).液体的µ随T变化较大，而其它物性变化较小。所以，一般只考虑()fTµ=，而其它物性按参考温度确定。3).气体的−∝1Tρ，pc及Pr略有变化，而µ和λ均0.8T∝。4).ρ的不均匀(T不均匀)导致混合对流。