高中数学-集合的概念及其基本运算

要点梳理1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：_________、________、_________.（2）元素与集合的关系是______或________关系，用符号____或_____表示.第一章集合与常用逻辑用语§1.1函数及其表示基础知识自主学习确定性互异性无序性属于不属于(3)集合的表示法：_______、_______、_______、_______.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为________、_________、______.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则.（或.若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则_______（或______）.列举法描述法图示法有限集无限集空集区间法BAAB___A；A___A；AB，BCA____C.若A含有n个元素,则A的子集有____个,A的非空子集有______个,A的非空真子集有________个.(2)集合相等若AB且BA,则_______.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}；交集：A∩B=_______________；补集：UA=_________________.U为全集，UA表示A相对于全集U的补集.2n2n-12n-2A=B{x|x∈A且x∈B}}|{AxUxx且(2)集合的运算性质并集的性质:A∪=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=ABA.交集的性质：A∩=；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=AAB.补集的性质：.基础自测1.（2008·四川理，1）设集合U={1，2，3，4，5},A={1，2，3}，B={2，3，4},则U(A∩B)等于（）A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}解析∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}.又U={1，2，3，4，5}，∴U(A∩B)={1，4，5}.B2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示，则(UA)∩B等于（）A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}解析由韦恩图知(UA)∩B={5,6}.A3.（2009·广东理，1）已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.B4.(2009·浙江，1)设U=R,A={x|x0},B={x|x1},则A∩UB=（）A.{x|0≤x1}B.{x|0x≤1}C.{x|x0}D.{x|x1}解析∵B={x|x1},∴UB={x|x≤1}.又A={x|x0},∴A∩UB={x|0x≤1}.B5.设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}.若AB，则a的取值范围是()A.a1B.a≤1C.a2D.a≤2解析由图象得a≤1,故选B.B题型一集合的基本概念【例1】(2009·山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A.0B.1C.2D.4根据集合元素特性，列出关于a的方程组，求出a并检验.题型分类深度剖析思维启迪解析∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴∴a=4.答案D掌握集合元素的特征是解决本题的关键.解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.探究提高,4,162aa知能迁移1设a,b∈R，集合{1,a+b,a}=则b-a等于()A.1B.-1C.2D.-2解析∵a≠0,∴a+b=0又{1,a+b,a}=∴b=1,a=-1.∴b-a=2.},,,0{bab},,,0{bab.1abC题型二集合与集合的基本关系【例2】(12分)已知集合A={x|0ax+1≤5},集合B=（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.在确定集合A时，需对x的系数a进行讨论.利用数轴分析，使问题得到解决.思维启迪}.221|{xx解A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a=0，则A=R；②若a0，则③若a0,则［2分］(1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a0时，若AB，如图,};|{axaxA14}.41|{axaxA.8,218,21214aaaaa则解题示范当a0时，若AB，如图,综上知，当AB时，a-8或a≥2.［6分］（2）当a=0时，显然BA；当a0时，若BA，如图,..,22224211aaaaa则当a0时，若BA，如图,综上知，当BA时，［10分］（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.［12分］;021.218,21214aaaaa则..,202224211aaaaa则221a探究提高在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论.知能迁移2已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若BA，求实数a.解A={3，5}，当a=0时，当a≠0时，B=要使BA，;AB}.1{a,5131aa或则.51310.5131或或综上或即aaa题型三集合的基本运算【例3】已知全集U={1，2，3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A},求集合U(A∪B)中元素的个数.（1）先求出集合A和集合B中的元素.（2）利用集合的并集求出A∪B.解∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，∴B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，∴A∪B={1，2，4},∴U(A∪B)={3，5}，共有两个元素.集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意运用韦恩图以及补集的思想方法.思维启迪探究提高知能迁移3(2009·全国Ⅰ，理1文2)设集合A={4，5，7，9}，B={3,4，7，8，9}，全集U=A∪B,则集合U(A∩B)中的元素共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个解析∵A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},∴A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴U(A∩B)={3,5,8},∴U(A∩B)共有3个元素.A题型四集合中的信息迁移题【例4】若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1,A2）与（A2,A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={1，2，3}的不同分拆种数是（）A.27B.26C.9D.8所谓“分拆”不过是并集的另一种说法,关键是要分类准确.思维启迪解析①A1=时，A2={1，2，3}，只有一种分拆；②A1是单元素集时（有3种可能）,则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况(如A1={1}时,A2={2，3}或A2={1，2，3}),这样A1是单元素集时的分拆有6种；③A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素（如A1={1，2}时，A2={3}或A2={1，3}或A2={2，3}或A2={1，2，3}）,这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种；④A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包含0，1，2或3个元素（即A1={1，2，3}时，A2可以是集合{1，2，3}的任意一个子集），这样A1={1，2，3}时的分拆有23=8种.所以集合A={1，2，3}的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.答案A解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关的所学知识,帮助理解.同时,找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.探究提高知能迁移4对任意两个正整数m、n,定义某种运算集合P={（a，b）|ab=8，a,b∈N*}中元素的个数为（）A.5B.7C.9D.11解析当a,b奇偶性相同时，ab=a+b=1+7=2+6=3+5=4+4.当a、b奇偶性不同时，ab=ab=1×8,由于(a,b)有序，故共有元素4×2+1=9个.nm:,,,,奇偶性不同与奇偶性相同与nmmnnmnmC思想方法感悟提高1.集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号单独考察.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助韦恩图.这是数形结合思想的又一体现.方法与技巧1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论，防止漏掉.2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.3.解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.失误与防范4.韦恩图`示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.5.要注意AB、A∩B=A、A∪B=B、这五个关系式的等价性.一、选择题1.（2009·海南，宁夏理,1）已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩(NB)等于（）A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}解析∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴NB={1,2,4,5,7,8,…}.∴A∩（NB）={1,5,7}.A定时检测2.（2009·福建理，2）已知全集U=R,集合A={x|x2-2x0},则UA等于（）A.{x|0≤x≤2}B.{x|0x2}C.{x|x0或x2}D.{x|x≤0或x≥2}解析∵x2-2x0,∴x(x-2)0,∴x2或x0,∴A={x|x2或x0},UA={x|0≤x≤2}.A3.已知集合A={x|-1x1},B={x|x2-x≤0},则A∩B等于（）A.(0，1)B.（0，1］C.［0，1）D.［0，1］解析B={x|0≤x≤1},∴A∩B={x|0≤x1}.C4.（2009·辽宁理，1）已知集合M={x|-3x≤5},N={x|-5x5},则M∩N等于（）A.{x|-5x5}B.{x|-3x5}C.{x|-5x≤5}D.{x|-3x≤5}解析∵M={x|-3x≤5},N={x|-5x5},∴M∩N={x|-3x5}.B5.（2009·四川文，1）设集合S={x||x|5}，T={x|(x+7)·(x-3)0},则S∩T等于（）A.{x|-7x-5}B.{x|3x5}C.{x|-5x3}D.{x|-7x5}解析S={x|-5x5},T={x|-7x3},∴S∩T={x|-5x3}.C6.若集合A={x|x2-9x0,x∈N*},B={y|∈N*,y∈N*},则A∩B中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3解析A={x|0x9,x∈N*}