必修2-第二章-点、直线、平面之间的位置关系知识点

第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点一、空间点、线、面间的位置关系【课标要求】借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解公理1~4和空间等角定理。【例题1】如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=13BC，CH=13DC，求证：（1）E，F，G，H四点共面；（2）三直线FH，EG，AC共点.【解析】本题考查空间点、线、面间的位置关系，需要用公理1-3来解决；【答案】如图（1）连接EF，GH，由E，F分别为AB，AD中点，∴EF∥12BD，由CG=13BC，CH=13DC，∴HG∥13BD，∴EF∥HG且EF≠HG，∴EF，HG可确定平面α，∴E,F,G,H四点共面；（2）由（1）知EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.，∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，∵点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD，同理点O∈平面ABC，又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2），∴三直线FH，EG，AC共点.【归纳拓展】1、证明点线共面的常用方法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；或者先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α,β重合；2、线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，证明三线共点的依据是公理3，证明三线共点的方法是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点；把问题转化为证明点在直线上的问题，实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理。【变式训练1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由；（1）直线AC1平面CC1B1B；（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，平面AA1C1C平∩面BB1D1D=OO1；（3）点A，O，C可以确定一个平面；（4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1，D确定的平面是同一平面；【变式训练2】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点.二、直线、平面平行的判定与性质【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定与性质。【例题2】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.(1)当点M在何位置时，MB∥平面AEF;(2)若MB∥平面AEF，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值.【解析】对于第(1)题，可采用分析法得到，即假设MB∥平面AEF，则平面MBF与AEF的交线与MB平行，由平面几何的知识不难探求M应为AC的中点;第(2)题MB与EF异面可由判定定理推证，求夹角用平移法.【答案】(1)如图，当M是线段AC中点时，MB∥平面AEF.取AE中点N，连接NF,MN，则MN∥CE∥BF,1MNCE2，1BF=CE2，∴MN=BF，MN∥BF，∴MNFB是平行四边形，MB∥BF，又∵NF平面AEF，MB平面AEF，∴MB∥平面AEF；(2)MB与EF是两条异面直线.∵EF平面BB1CC1,B∈平面BB1CC1,B直线EF,M平面BB1CC1，∴MB与EF是异面直线由(1)知MB∥NF,∴∠EFN就是异面直线MB与EF所成的角，由平面ABC⊥平面AA1CC1，BM⊥AC,知MB⊥平面AA1CC1，又NF∥MB,∴FN⊥平面AA1CC1∴FN⊥AE，而N是AE的中点,∴EF=AF=5，NF=BM=3，在Rt△EFN中,cos∠EFN=155NFEF.即所求角的余弦值为155.【归纳拓展】判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,aαa∥β);【变式训练3】如图所示，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD中，E，F，P，Q分别是BC，11CD，1AD，BD的中点．(1)求证：PQ//平面11DCCD．(2)求PQ的长．(3)求证：EF//平面11BBDD．【变式训练4】如图，四边形ABCD为矩形，M，N分别是EC与AB的中点，求证：MN//平面ADE.A1APQBECF1D1C1BMDNBCEA【例题3】如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，截面与棱AB，CD都平行.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围。【解析】第(1)题，由条件的线面平行到所求的线线平行，考查线面平行的性质，第(2)题需要把周长用一个适当的参数表示，利用函数思想来解决。【答案】(1)∵AB∥面EFGH，AB面ABC，面ABC∩面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理AB∥GH，∴EF∥GH，又∵CD∥面EFGH，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形；(2)设(01)FCxxBC，由(1)知EF∥AB，∴EFFCABBC，即4EFx，∴EF=4x，又∵GH∥CD，∴1EHAEBFFCCDACBCBC，即16EHx，∴EH=6(1-x)，∴四边形EFGH的周长为l=2(4x+6-6x)=4(3-x)，∵0x1，∴8l12.【归纳拓展】平行关系可以相互转化，下面是它们之间转化关系：【变式训练5】如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，截面为平行四边形.(1)求证：截面EFGH与棱AB，CD都平行；(2)当对棱AB，CD满足什么位置关系时，平行四边形EFGH为矩形？说明理由；(3)若AB=4，CD=6，当平行四边形EFGH为矩形时，求它面积的最大值，并求此时点E、F、G、H的位置。DBCEGFAH三、直线、平面垂直的判定与性质【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定与性质。【例题4】如图，ABCD为矩形，PA平面ABCD,M、N分别为AB、PC的中点，(1)证明：ABMN;(2)若平面PDC与平面ABCD成45角，证明：平面MND平面PDC.【解析】第(1)题证明线线垂直，可以用等腰三角形性质，也可用线面垂直的性质，第(2)题需要作出(或找出)二面角的平面角，再证线面垂直，进而得到面面垂直。【答案】证法一：(1)如图，连接AN与BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴BN=12PC，又∵PA⊥AC，∴AN=12PC，∴BN=AN，∴△ABN为等腰直角△，又∵M为AB中点，∴MN⊥AB(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成的角，∴∠PDA=45°，∴PA=AD=BC，又∵AM=MB，∠PAM=∠DBCEGFAHABCDPMNABCDPMNCBM=90°，△PAM≌△CBM，∴PM=CM，又∵N为PC中点，∴MN⊥PC，由(1)知MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD，PC与CD相交，∴MN⊥平面PCD。证法二：(1)取PD中点Q连接AQ、NQ，∵AM∥12CD，NQ∥12CD，∴AM∥NQ，∴四边形AMNQ为平行四边形，易证AM⊥PA，又∵AM⊥AD，∴AM⊥平面PAD，∴AM⊥AQ，又∵MN∥AQ，∴MN⊥AM，即MN⊥AB；(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成的角，∴∠PDA=45°，∵PA⊥AD，∴AQ⊥PD，又∵MN∥AQ，∴MN⊥PD，由(1)MN⊥AB，又由AB∥CD，∴MN⊥CD，∵CD与PD相交，∴MN⊥平面PCD，∴平面MND⊥平面PCD。【归纳拓展】空间的线线垂直，一般由线面垂直来证明，而线面垂直又可以由线线垂直或面面垂直证明，所以灵活运用垂直关系的转化是证明的关键；垂直的转化关系如下：判定定理定义判定定理性质定理【变式训练6】如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别是AC、PC的中点，DE⊥AP于E，(1)求证：AP⊥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BDF；【例题5】如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B—AC—E的余弦值；（3）求点D到平面ACE的距离.面面垂直线面垂直线线垂直DAEPFCBABCDPMNQ【解析】第(1)题，要证AE⊥平面BCE，只需证AE⊥BC，与AE⊥BF，第(2)题，要求二面角的平面角，需要作出(或找出)平面角来，从棱出发作出两条射线都与AC垂直，这实际上也是一个线面垂直问题，连接BD与棱AC相交来找思路，第(3)题，D到平面ACE的距离需要过D作平面ACE的垂线段，不易直接作，可利用对称性，转到B到平面ACE的距离。【答案】(1)证明：∵BF平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D—AB—E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE.(2)连接BD交AC于G点，∴AC⊥GB，又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AC，∴AC⊥平面BGF，∴AC⊥GF，∴∠BGF为二面角B-AC-E的平面角，由(1)知AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又∵AE=EB，AB=2，∴EB=2，∴FB=2222=32+2，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥GF，在RT△BGF中，BG=2，∴GF=23，∴cos∠BGF=33GFBG；(3)∵BD的中点G在平面ACE上，∴D点到平面ACE与B到平面ACE的距离相等，又∵BF⊥平面ACE，∴BF长为B到平面ACE的距离，∴所求距离为233【归纳拓展】1、求二面角的步骤：（1）作出二面角的平面角；（2）证明该角两边都与棱垂直；（3）指出该角就是二面角的平面角；（4）计算该角大小；简记为作、证、指、算；2、求点到面的距离的方法分为：（1）直接法，作出点到面的垂线段来，再求其长；（2）间接法，把所求的距离看作是一几何体的高（通常是椎体），再用等体积法把高求出，或者转DFECBAGDFECBA化成其它点到平面的距离；【变式训练7】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。2,2POAB求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE（3）求二面角E-BD-A的大小。四、空间位置关系的简单证明【课标要求】能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。【例题6】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥平面BFC,△BFC为等腰直角三角形，BF=FC,H为BC的中点，(1)求证：FH∥平面EAC；(2)求证：面EAC⊥面ABCD；(3)求证：BD⊥平面EAC；(4)求四面体B—DEF的体积；(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点.连EG，GH，由于H为BC的中点，∴GH∥12AB又∵EF∥12AB，∴EF∥GH∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，而EG平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：∵EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∵EF∥AB，∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，FH⊥BC，∴FH⊥平面ABCD，∵FH∥EG，∴EG⊥平面ABCD，又∵EG平面EAC，∴面EAC⊥面ABCD；(3)由(2)知EG⊥平面ABCD,∴EG⊥BD,又∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，EG