二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节二次函数的图像与性质1．能够利用描点法做出函数y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k和cbxaxy2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质；2．理解二次函数cbxaxy2中a、b、c对函数图象的影响。一、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.例1.在同一平面坐标系中分别画出二次函数y＝x2，y＝-x2，y＝2x2，y＝-2x2，y＝2（x-1）2的图像。一、二次函数的基本形式1.y＝ax2的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（0，0）y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下（0，0）y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．xyO2.y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3.y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4.y＝a(x－h)2＋k的性质：5.y＝ax2+bx+c的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（0，k）y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值k．0a向下（0，k）y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值k．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（h，0）直线x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下（h，0）直线x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上（h，k）直线x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下（h，k）直线x=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）0a向上2424bacbaa，直线2bxa2bxa时，y随x的增大而增大；2bxa时，y随x的增大而减小；2bxa时，y有最小值244acba．0a向下2424bacbaa，直线2bxa2bxa时，y随x的增大而减小；2bxa时，y随x的增大而增大；2bxa时，y有最大值244acba．二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）⑵cbxaxy2沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．例1、抛物线y=－2x2＋6x－1y=2x2＋6x－1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．例4、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移2个单位；（2）左移23个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________训练题:1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．2．当m=时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．4．当m=时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．2121mm2mm26．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．y=x2B．y=－x2C．y=－2x2D．y=－x28．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）A．y=x2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称D．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）A．4B．2C．D．12.已知二次函数y=x2－x＋6，当x=时，y最小=；当x时，y随x的增大而减小．13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。15．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.17.二次函数y=3x2－6x+5，当x1时，y随x的增大而；当x1时，y随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。18.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝，b＝，c＝.20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为_.21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，212141313121414125x的取值范围_______．22、函数y=ax2(a≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b）（1)求a和b的值（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？1.根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。①422xxy②1422xxy③221yxx④2516yxx2．函数y=x2的图象向平移个单位得到y=x2+3的图象；再向平移个单位得到y＝(x-1)2+3的图象。