力系的平衡

第九章力系的平衡力系简化结果平衡条件(几何、解析)•一般特殊各类平衡问题0()0RiOOi,FFMMF力系平衡且9.1.1力系几何平衡条件主矢和主矩矢多边形同时封闭。不平衡。实为一合力偶平衡0M0OM2.图示力系沿正方体棱边，各力大小相等，平衡吗？1.图示受力圆板平衡吗？ABCDABCDOFFFFFF若不平衡，试加一力使之平衡。9.1.2解析平衡条件——平衡方程1.基本形式即空间力系平衡方程基本形式※6个独立方程可解6个未知量。2.其它形式由、向直角坐标轴投影，得0()0iOiFMF000xyzFFF000xyzMMM4矩式、5矩式、6矩式及其补充条件。(并不重要)由基本式去掉力系几何性质自动满足的方程1.平面一般力系置各力线于xoy平面，则0F0,M0,Mzyx---三矩式(A,B,C不共线)---二矩式()ABx0M0,F0,Fzyx0M0,M0,FBAx---基本式则0M0,M0,MCBA2.空间汇交力系，汇交于O点000zxyM,F,F,3.空间平行力系让各力线平行于z轴，有0,0,0,0OxyzMMMM即000xyzMMF则000xyzFFF则2.2特殊力系的平衡方程(1)力系平衡时，对任意轴x，有(2)各类力系独立平衡方程数可用于判断问题是否可解4.平衡方程要点=00xxFM63333221指出下列力系独立平衡方程数目。1、各力线平行于某平面。52、各力线平行于某直线。3、各力线相交于某直线.。4、各力线分别汇交于两点.。3555、一个平面任意力系加一个垂直于此平面力系的平行力系。66、一个平面任意力系加一个平行于此平面力系所在平面的平行力系.。4下列问题是否可解?三杆平行，三杆汇交，一杆为0四杆汇交，4杆平行三杆不平行，加力偶M可解不可解可解不平衡，力偶平衡不可解不可解FFMMGF零杆ABABF2GNBFAB1GABFNAFAB1.汇交力系分别研究A、B轮，受力如图，12sin()sinsin()sinABABGFGF,12sinsinsin()sin()GG2112tgtgtgGGGG故由相应力△，有1G2G9.3简单平衡问题已知f=0，1290G,G,不计杆重，求平衡位置角。1.若f≠0情形怎样?轮为二力构件，斜面约束力必指向轮心，摩擦力为零，故结果相同!三力以上汇交力系，宜用解析法！本例可用解析法，对A，B分别由四个方程求解。0,0xyFFAB1G2G2.平行力系OG1.5m10m1G3mx0GBA研究整体，其受力如图所示，各力组成一平面平行力系。满载时，0BM由，有01(3)31510AGxFG.G01(3)1.5103AGxGGF起重机不向右翻倒的条件是故01(3)1.510GxGG即空载时，1250kNG，10G，OG1.5m10m1G3mx0GBAAFBF故04.53BGGxF起重机不向左边翻倒的条件是，0BF即(b)04.5GxG(a)-(b)，并将1500kN,250kNGG代入，得01000kN3G故0min1000kN3G0AM由，有034.5BFGxGOG1.5m10m1G3mx0GBAAFBF225036.75(m)1000xG故max6.75mx00maxmax,GGxx并验证(a),(b)两个不等式成立。均为临界值。设计时，应0minGmaxx和适当取值，使此处0min1000kN3G将代入(b)式，得OG1.5m10m1G3mx0GBAAFBF1m1KN1kN3kN2kNC2mB2m2m1kN1kN3kN2kNCBxyz3.试求图示折杆C截面的内力。截面法。1kNNxF轴力2kNQyF假设用垂直于轴线的平面在C处将杆截开，研究BC段，C截面内力如图。yMxMzMQyFNxFQzF0xF，由得0yF，由得12226kNmzM228610kNmM()弯矩扭矩12214kNmxM12328kNmyM1kN1kN3kN2kNCBxyzxMzMyMNxFQyFQzF0xM，由得0yM，由得0zM，由得剪力134kNQzF25kNQF0zF，由得分三段，选取三个坐标。如:将C处2m，改为x，则AE段扭矩为常数，弯矩成为线性函数。如何求各段内力函数?1m1kN1kN3kN2kNC2mB2m2m在x处作截面，研究左半段，受力如图。4.已知q、l,试求图示简支梁，横截面内力随轴线的变化规律(内力函数)。得由,Fy002QqlFqxxl2AyByqlF=F=约束力BAqlx2qlQFMA2xCqxByFAyF2max128lx,Mql2022qlqMxxxld0dMx，由有由0CM,有由BAqlMQF21ql82ql2ql2l5.图(a)所示支架由三根互相垂直杆刚结而成，两圆盘直径均为d，分别固定于两水平杆杆端上，盘面与杆垂直。竖直杆AB长为l，在图示荷载下试确定轴承A，B的约束力。3.力偶系研究整体，FdM因主动力是两个力偶矩大小为的力偶，A，B两处约束力必构成一力偶与主动合力偶相平衡。ABxyFFFFa其方向如图(c)所示。运用力偶系平衡的几何条件解空间三力偶问题十分简便，先由力偶矩矢三角形，求出未知约束力偶矩矢的大小和方向，再用右手法则确定约束力的方向。lFd2lMFFABBA故ABxyFFFFcAFo45BFo45由力偶矢三角形(图b)知，约束力偶矩的大小为ABM2ABMFdABMM(b)M7.如图(a)所示，等截面梁受横向荷载作用，()qx试求垂直于轴线的横截面上内力的平衡微分方程。4.变形体平衡问题(a)MF()qxBA由于B端为可动铰支座，横截面上不产生轴向内力。取梁的微段dx，其受力如图(b)所示，先将整体受力简化为梁的纵向对称面内的平面力系，再简化横截面内力。内力(称为剪力)，内力偶M(称为弯矩)是横截面上分布内力的简化结果，且均设为正(内力的正负号不能按坐标定出，应重新规定，以使同一截面左右两边的同一内力正负相同)，视为常量QF()qxdx(因很小)。MQFdM+MdQQFF(b)()qxdx略去上式中的二阶微量d()d2xqxx，由(a)和(b)式得d()()dd()()dQQFxqxxMxFxx这组方程由刚体平衡条件导出，是材料力学中分析梁内力的基础。由0yF，得QQQdd0FxFxFxqxxa0,CM由得Qdddd02xMxMxMxFxxqxxb(b)MQFdM+MdQQFF()qxdx9.4物体系统平衡问题(f=0)确定各构件的受力(外力、内力)目标:2.4物体系统平衡问题(f=0)9.4.1静定与超静定概念9.4.2物系平衡问题解法9.4.1静定与超静定概念未知量个数Nr≤独立方程数Ne未知量个数Nr独立方程数Ne只用静力平衡条件能求解的问题。静定:超静定:只用静力平衡条件不能求解的问题先建立初步概念，组成分析后再严格定义.(各构件全部外力)Nr=6Ne=6静定结构Nr=7Ne=6超静定结构MFMFNr=5Ne=6运动机构(k=1):一个自由度MFNr=8Ne=6二次超静定Nr=8Ne=6二次超静定试判断下列系统是否静定?(a)BA0fGCD(b)ACBF(c)Nr=3+2+2=7Ne=23=6;一次超静定(c)(e)Nr=4Ne=3;一次超静定(e)9.4.2物系平衡问题解法1.一般步骤:1)灵活选对象，先求未知量“先整体，后局部”或“先局部、后整体”2)正确画受力图，注意力系的等效条件3)巧取矩心、投影轴、尽量避免联立方程常选未知力交点矩心、与多个未知力垂直的投影轴。2.典型例题整体“静定型”1.已知F1、F2分别作用于AC、BC杆中点，不计杆重，求AB杆内力。先研究整体，受力如图(a)1234BF+FF=得由0,MA1243BFaFaFaCBA2F1Faaaa(a)AxFAyFBF再研究BC杆，受力如图(b)得由0,MC222ABBFaFaFa1214ABFFF整体“静定”，先研究整体，后拆开分析局部。不需求的约束力不求。题型特点:BFABFCyFCxFCB2F(b)1.求出FB后，研究铰B，能求出FAB吗?铰B受力如图，共4未知力，求不出。此时，AB杆内力有3个分量，求出Fcx、Fcy后即可求出！2.若AB上作用一力，AB杆内力有何变化?能否求出?可按上法求出FAB后，求BC杆内力。ABFBFBQFNFM局部“静定型”2.如图(a)所示结构中，C，E处为光滑接触，销钉A，B穿透其连接的各构件，已知尺寸a，b，铅垂力F可以随x的变化而平移。求AB杆所受的力。图(a)FABabxCDE先研究整体，其受力如图(b)所示。由0xF，得0AxF由，得0EMAybxFFbEyF图(b)FABxCDEAxFAyF图(c)FCBx再研究BC杆，其受力如图(c)所示。由，得0BMCFbFx故CFxFbBxFByFCF研究AC杆，其受力如图(d)所示。其中，ABF为AB杆对销钉A的作用力(AB是二力杆)。图(d)ADCDxFDyFCFAxFAyFABF由，得0DM()22ABAyCbbFFF故ABbxFxFFFbb可见，AB杆受力与x无关。9.4考虑摩擦的物体平衡干摩擦(包括滑动摩擦与滚动摩擦)两种形式。摩擦普遍存在:包括干、液体、内摩擦。摩擦机理复杂。9.4考虑摩擦的物体平衡9.1滑动摩擦力2.静摩擦力方位:指向:1.实验曲线大小:smax0FF接触面切向由平衡确定(事先任意假定)dF045maxF临界静摩擦动摩擦摩擦力0外力NFSFGAPF3.最大静摩擦力与运动趋势相反。1781年，由法国库仑总结，为库仑摩擦定律。maxsNFFf---静摩擦因数。由材质及表面条件定。4.滑动摩擦力dNFFfssfffff一般动摩擦因数，,与运动趋势相反(接触处)sf方向:方向:d.静止时主动力合力与合约束力二力平衡。c.摩擦锥，1.摩擦角(锥)a.合约束反力tgSRNSNF=+FFFFb.maxNSmSNNFFftgfFFm——合约束力与法线的最大夹角。如图示mgOmgmAmaxRFNFmmaxSFmFRFNFASF(摩擦力的几何描述)2.自锁——主动力合力作用在摩擦角内，物体不滑动。tgtgmm,,SSNFfF为何值时自锁？求已知,)1sfm90m901tgctgmSfBAPFPF090m2自锁m22)鄂式破碎机，,咬入角多大时，矿石不上滑？m已知2RFCM1.滚阻力偶1)事实:能平衡，如汽车、压路辗子受力不动。2)圆轮刚性约束:0pF当时，圆轮不平衡。0cM，GPFNFSFGPFOC3)柔性约束——考虑按触处变形4)滚阻力偶大小:方向:fNpM=Fa=Frmax0ffMM为一个力分布力简化平移点向CGPFOr(a)NFRFSFa(b)(c)GPFOCNFSFfM与运动方向相反2.滚阻系数新近研究：与FN和r均有关。临界平衡或匀速滚动时，是FN的最大maxmaxfNaMF滚阻系数，量纲为长度(mm)，前移距离。库仑认为与和r无关，仅与材料硬度有关。2.6考虑摩擦的物体平衡2)为什么轮胎气压不足时，行驶阻力增大?1)试比较4与6棱柱翻滚的临界约束力偶矩大小。由上述分析可知。0AM,11max22fFhGrM已知