数学建模综合题影院座位设计问题

数学模型张峰华材料学院材料成型及控制工程04班20123631刘泽材料学院材料成型及控制工程04班20123627杨海鹏材料学院冶金工程03班201232031一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过030；记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,dD，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8.H=5，4.5,19dD，c=1.1(单位m)。求解以下问题：(1)地板线的倾角010时，求最佳座位的所在位置。(2)地板线的倾角一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m；6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；7.所有观众的座位等高为平均座高；8.影院的的地板成阶梯状。2四、符号说明水平视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离仰角S观众对水平视角为的满意程度地板线与水平线的倾角S观众对仰角为的满意程度d第一排离屏幕水平距离S平均满意程度D最后一排离屏幕水平距离cc,视角、仰角在综合满意度iS中的权重h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距H屏幕上边缘离地面的高度五、模型的建立与求解5.1问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。5.1.1模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为)tan,(xx，屏幕上下点的坐标分别为),(cHdA，ctanxhcHhhHddDEStanxBOMNP屏幕地面地板视觉线xc图1影院座位设计的剖面图xy3),(chHdB，AP的斜率记为APk,BP的斜率记为BPk。由斜率公式得：)(tantandxcHxkAP，)(tan)tan(dxchHxkBP(1.1)则直线AP和BP的斜率与夹角满足如下关系：)tan)(tan()()(1tan2chHxcHxdxdxhkkkkAPBPAPBP(1.2)仰角满足条件：]30,0[所以：33)(tan033tan0dxcHxtantan3333cHxdcH(1.3)由公式(1.1)(1.2)得到模型为：)tan)(tan()()(arctanmax2chHxcHxdxdxhtantan33330..cHxdcHdDxts5.1.2模型Ⅰ的求解当10时，用Matlab软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为9522.13，仰角为30，7274.1x米。即P点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。离屏幕的水平距离为米2274.67274.15.4。5.1.3模型Ⅱ的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为cosl，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos)1(tancos)1()(tantandlkcHlkdxcHx(2.1))tancos)1)((tancos)1(()cos)1(()cos)1((tan2chHlkcHlkdlkdlkh(2.2)其中，nk,,3,2,1，n为地板线上的座位的总排数，且191]cos5.14[ln。一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的4看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数]1[如下：minmaxmintantantantankkS(2.3)minmaxmintantantantan1kkS(2.4)式中kk,为第k排座位上观众视角和仰角，maxmax,表示在给定的情况下最优满意度，minmin,表示在给定的情况下最差满意度。视角、仰角在综合满意度kS中的权重分别为cc,，建立第k排座位综合满意度函数如下：ccScScSkkk(2.5)根据地板线倾角10，通过计算可以得出8975.154210.5，9149.400451.4，主观给定权重4.0,6.0CC，根据模型的建立，可以得出：1357.0tan5025.0tan1596.34.06.04.06.0kkkkkkkSSccScScS(2.6)将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为：1357.0)(cos)1(tancos)1(5025.0)tancos)1)((tancos)1(()cos)1(()cos)1((*1596.3max2dlkcHlkchHlkcHlkdlkdlkhSk19,,3,2,1,cos)1(tantan33330..klkxcHxdcHdDxts5.1.4模型Ⅱ的求解用Matlab软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2x米，4k排，最大满意度为6176.04S,最大视角为1282.13，仰角为9084.26,最佳位置离屏幕的水平距离为米8635.63635.25.4。5.2问题二5.2.1模型Ⅲ的建立要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S的最大值。由模型Ⅱ可知，第k排观众的满意度为S,则观众平均满意程度函数为：nSSnkk1，平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1)仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2)所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。由式(1.1)可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生5改变，且在某一座位(即x取某一定值)，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。024681012141618206.86.856.96.9577.057.17.15θ角变化α角变化α随θ的变化曲线024681012141618200246810121416θ角变化β角变化β随θ的变化曲线图2视角和仰角随变化的变化曲线第一排观众的仰角为9149.40，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k排座位所对应的仰角的正切值：nkdlkcHlkk,,3,2,1,)(cos)1(tancos)1(tan其中n为地板线上的座位的总排数：1]cos5.14[ln，随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距l不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角不超过20，所以2019n，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即0543.15。由模型Ⅰ可求出第k排座位所对应的水平视角的正切值为：)tancos)1)((tancos)1(()cos)1(()cos)1((tan2chHlkcHlkdlkdlkh5.2.2模型Ⅲ的求解让地板线倾角在]20,0[内逐一取值,步长为01.0；让x在]5.14,0[内逐一取值,步长为0.01。对一个取定的，判断x所在的位置仰角是否超过30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出8975.151143.5，9149.400。6由模型Ⅱ的(2.5)式得：4.06.04.06.0kkkkkSSccScScS（3.1）所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为：nSSnkk1max取整数其中nnklkxdDxnts,,2,1,cos)1(00543.1502019.用Matlab软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为6572.0S，对应地板线的倾角为0543.15。5.3在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。5.3.1模型的建立与求解由上两问可知,观众的满意程度与仰角,视角和地板线倾角都有关,而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着的变化情况。引理地板线不管设计成什么形状,各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。要使每一个座位所对应的视角取最大值,对应的y值应在直线上.设计地板线应考虑以下几个方面：(1)第k排座位所在的位置应高于第1k排座位所在的高度；(2)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；(3)视角尽可能大,即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近；(4)仰角的座位所占的比例尽可能大。假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为l，第k排座位地板线倾角为k，第k排座位与第1k排座位地板线倾角变化为。从而可得：)1(0kk，故：)()1(])1tan[()()1(tan)1(tan11dlkcHkldlk