(完整版)高三函数的性质练习题及答案

1高三函数的性质练习题一、选择题（基础热身）1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x3B．y＝ln|x|C．y＝1x2D．y＝cosx2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，f(－1)＝2，则f(2011)＝()A．1B．2C．3D．43．函数f(x)＝2xx＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是()A.43，1B．1,0C.43，23D．1，234．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．1能力提升5．已知函数f(x)＝a－3x＋5x≤1，2axx1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2]6．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝1)()(2xgxf＋f(x)的奇偶性为()A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数7．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.12B.14C．2D．48．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)9．已知函数f(x)＝sinπx0≤x≤1，log2010xx1，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是()2A．(1,2010)B．(1,2011)C．(2,2011)D．[2,2011]二、填空题10．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝)(1xf，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝________.11．f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f)43(xx的所有x之和为________．12．函数f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为定义域D上的非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0，②f(1－x)＋f(x)＝1，③f3x＝12f(x)，则f31＋f125的值为________．13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)f(x)，则满足f(1－a)f(a－1)的a的取值范围是________．三解答题14．(10分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．315．(13分)已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)解不等式：f(x)＋f(x－8)2.16．(12分)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f(x－y)＝)()(1)()(xfyfyfxf成立，且f(a)＝1(a为正常数)，当0x2a时，f(x)0.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)为周期函数；(3)求f(x)在[2a,3a]上的最小值和最大值．417.已知函数()yfx的定义域为R，且对任意,abR，都有()()()fabfafb，且当0x时，()0fx恒成立，证明：（1）函数()yfx是R上的减函数；（2）函数()yfx是奇函数。18．设a为实数，函数1||)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值。5函数的性质参考答案【基础热身】1．B[解析]y＝x3不是偶函数；y＝1x2在(0，＋∞)上单调递减；y＝cosx在(0，＋∞)上有增有减．2．B[解析]令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋2f(3)，因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，2011＝6×335＋1，所以f(2011)＝f(1)＝f(－1)＝2.3．A[解析]∵f(x)＝2xx＋1＝2x＋1－2x＋1＝2－2x＋1，又f(x)在[1,2]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(2)＝43，故选A.4．A[解析]法一：由已知得f(x)＝x2x＋1x－a定义域关于原点对称，由于该函数定义域为xx≠－12且x≠a，知a＝12，故选A.法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝x2x2＋1－2ax－a，则－x2x2－1－2ax－a＝－x2x2＋1－2ax－a在函数的定义域内恒成立，可得a＝12.【能力提升】5．D[解析]∵f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，∴a－30，2a0，a－3×1＋5≥2a1，解得0a≤2.6．B[解析]∵f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．又∵g(x)·g(－x)＝1，∴g(－x)＝1gx.∵F(x)＝2fxgx－1＋f(x)＝f(x)2gx－1＋1＝f(x)·gx＋1gx－1.∴F(－x)＝f(－x)·g－x＋1g－x－1＝－f(x)·1gx＋11gx－1＝－f(x)·1＋gxgx1－gxgx＝f(x)·gx＋1gx－1＝F(x)．∴F(x)为偶函数．7．C[解析]∵函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，因此最大值与最小6值之和为a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2，故选C.8．B[解析]依题意a＞0且a≠1，所以2－ax在[0,1]上递减，因此a1，2－a0，解得1＜a＜2，故选B.9．C[解析]因为函数f(x)＝sinπx(0≤x≤1)的图象关于直线x＝12对称，不妨令abc，由f(a)＝f(b)可得a＋b2＝12，即a＋b＝1，又因为0≤sinπx≤1，所以0log2010c1，解得1c2010，所以2a＋b＋c2011，故选C.10．－15[解析]∵f(5)＝1f3＝11f1＝f(1)＝－5，∴f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝1f－1＋2＝－15.11．－8[解析]依题意当满足f(x)＝fx＋3x＋4时，即①x＝x＋3x＋4时，得x2＋3x－3＝0，此时x1＋x2＝－3.②－x＝x＋3x＋4时，得x2＋5x＋3＝0，∴x3＋x4＝－5.∴满足f(x)＝fx＋3x＋4的所有x之和为－3＋(－5)＝－8.12．1[解析]由f(0)＝0，f(1－x)＋f(x)＝1，fx3＝12f(x)，得f(1)＝1，f13＝12，f23＝12，因为1351223，所以f13≤f512≤f23，所以f512＝12，所以f13＋f512＝1.13．(－∞，1)[解析]因为d0时，f(x＋d)f(x)，所以函数y＝f(x)是减函数，所以由f(1－a)f(a－1)得1－aa－1，解得a1，所以a的取值范围是(－∞，1)．14．[解答](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．由f(x)为奇函数，得不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)，又f(x)为减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k0，7从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.15．[解答](1)f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，f(27)＝f(9)＋f(3)＝3.(2)∵f(x)＋f(x－8)＝f[x(x－8)]f(9)，又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴x0，x－80，xx－89，解得8x9.即原不等式的解集为{x|8x9}．【难点突破】16．[解答](1)∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，又f(－x)＝f[(a－x)－a]＝fa－x·fa＋1fa－fa－x＝1＋fa－x1－fa－x＝1＋fa·fx＋1fx－fa1－fa·fx＋1fx－fa＝1＋fx＋1fx－11－1＋fxfx－1＝2fx－2＝－f(x)，对于定义域内的每个x值都成立，∴f(x)为奇函数．(2)证明：∵f(x－a)＝fx＋11－fx，∴f(x－2a)＝fx－a＋11－fx－a＝1＋fx＋11－fx1－fx＋11－fx＝－1fx，∴f(x－4a)＝－1fx－2a＝11fx＝f(x)，∴函数f(x)为周期函数．(3)设2ax3a，则0x－2aa，∴由(2)知f(x－2a)＝－1fx0，∴f(x)0，设2ax1x23a，则0x2－x1a，∴f(x1)0，f(x2)0，f(x2－x1)0，∴f(x1)－f(x2)＝fx1·fx2＋1fx2－x10，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[2a,3a]上单调递减，又f(2a)＝f(a＋a)＝f[a－(－a)]＝fa·f－a＋1f－a－fa＝1－f2a－2fa＝0，f(3a)＝f(2a＋a)＝f[2a－(－a)]＝f2a·f－a＋1f－a－f2a＝1－fa＝－1.∴f(x)在[2a,3a]上的最小值为－1，最大值为0.17．证明：(1)设12xx，则120xx，而()()()fabfafb∴11221222()()()()()fxfxxxfxxfxfx8∴函数()yfx是R上的减函数;(2)由()()()fabfafb得()()()fxxfxfx即()()(0)fxfxf，而(0)0f∴()()fxfx，即函数()yfx是奇函数。18．解：（1）当0a时，2()||1fxxx为偶函数，当0a时，2()||1fxxxa为非奇非偶函数；（2）当xa时，2213()1(),24fxxxaxa当12a时，min13()()24fxfa，当12a时，min()fx不存在；当xa时，2213()1(),24fxxxaxa当12a时，2min()()1fxfaa，当12a时，min13()()24fxfa。