数列专题评估测试题及详细答案

-1-数列专题评估测试题[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为A．7B．8C．9D．16解析据题意得an＋1＝2an，所以数列{an}是等比数列，且公比为2，所以a4＝a1q3＝23＝8.答案B2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2014＝S2014＝2014，则a1等于A．－2011B．－2012C．－2013D．－2014解析在等差数列{an}中，S2014＝2014a1＋a20142＝2014，所以a1＋a2014＝2，故a1＝2－a2014＝2－2014＝－2012.答案B3．(2013·丰台区一模)设Sn为等比数列{an}的前n项和，2a3＋a4＝0，则S3a1等于A．2B．3C．4D．5解析因为2a3＋a4＝a3(2＋q)＝0，所以q＝－2，则S3a1＝a1＋a2＋a3a1＝1＋q＋q2＝3.答案B4．(2013·淄博模拟)如果等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于A．21B．30C．35D．40解析由a5＋a6＋a7＝15得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35，选C.答案C-2-5．(2013·福州模拟)已知实数a和c的等差中项为1，a2和c2的等比中项也为1，则a2＋c2的值为A．2B．4C．3或5D．2或6解析由题意可知：a＋c＝2，a2c2＝1，即ac＝±1，所以a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4±2，所以a2＋c2的值为2或6.答案D6．(2013·张家口模拟)若数列{an}的前n项和为Sn＝λan－λ(λ，a是不为零的常数)，则A．{an}不是等比数列B．{an}是等比数列C．只有a≠1时{an}才是等比数列D．{an}从第二项起才构成等比数列解析a1＝S1＝λa－λ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(λan－λ)－(λan－1－λ)＝λan－1(a－1)，故a≠1时，{an}才是等比数列．答案C7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝2，S6S3＝3，则S10S5等于A.134B.154C．4D.174解析易知a1＝S1＝2，设等差数列{an}的公差为d，则S6S3＝12＋15d6＋3d＝3，解得d＝1，所以S10S5＝6520＝134.答案A8．已知等差数列{an}中，a3＝8，a4＝4，则{an}的前n项和Sn等于A．有最小值为S5B．有最小值为S4和S5C．有最大值为S5D．有最大值为S4和S5解析设等差数列{an}的公差为d，由a3＝a1＋2d＝8，a4＝a1＋3d＝4，解得d＝－4，a1＝16，故an＝16－4(n－1)＝20－4n，令an≥0，解得n≤5，所以S4＝S5最大．答案D-3-9．(2013·潍坊模拟)在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于A．4B．5C．6D．7解析在等比数列中，a2an－1＝a1an＝64.又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.当a1＝2，an＝32时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－qan1－q＝2－32q1－q＝62，解得q＝2.又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理当a1＝32，an＝2时，由Sn＝62，解得q＝12，由an＝a1qn－1＝32×12n－1＝2，得12n－1＝116＝124，即n－1＝4，n＝5，综上，项数n等于5，选B.答案B10．(2013·烟台一模)若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2013，则a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为A．2013·1010B．2013·1011C．2014·1010D．2014·1011解析由条件知lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝1，即an＋1an＝10，∴{an}为公比是10的等比数列．因为(a2001＋…＋a2010)q10＝a2011＋…＋a2020，所以a2011＋…＋a2020＝2013·1010，选A.答案A-4-11．(2013·兰州模拟)已知公差不为零的等差数列{an}中，am＋an＝a2＋a6，则1m＋9n的最小值为A.32B．2C.138D．不存在解析因为等差数列{an}的公差不为零，且am＋an＝a2＋a6，由等差数列的性质可得m＋n＝2＋6，即m＋n＝8，则18(m＋n)＝1，所以1m＋9n＝18(m＋n)1m＋9n＝181＋9＋nm＋9mn＝54＋18nm＋9mn≥54＋18×2nm·9mn＝54＋18×2×3＝2，当且仅当nm＝9mn，即m＝2，n＝6时，等号成立．答案B12．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于A．0B．－100C．100D．10200解析因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝503＋1992＝5050.f(2)＋…＋f(101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝50－5－2012＝－5150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]-5-＝－5150＋5050＝－100，所以选B.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2013·朝阳区模拟)已知数列1，a,9是等比数列，数列1，b1，b2,9是等差数列，则|a|b1＋b2的值为________．解析因为1，a,9是等比数列，所以a2＝1×9＝9，所以a＝±3.1，b1，b2,9是等差数列，所以b1＋b2＝1＋9＝10.所以|a|b1＋b2＝310.答案31014．(2013·昆明模拟)已知数列{an}为等比数列，且a1a13＋2a27＝5π，则cos(a2a12)的值为________．解析在等比数列中a1a13＋2a27＝a27＋2a27＝3a27＝5π，所以a27＝5π3，所以cos(a2a12)＝cos(a27)＝cos5π3＝cosπ3＝12.答案1215．已知an＝3n＋2，把数列{an}的各项分组如下：{a1，a2}，{a3，a4，a5，a6}，{a7，a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14}，{a15，a16，a17，…，a30}，…，记A(m，n)表示第m组的第n个数(如A(4,3)表示第4组的第3个数，为a17)，则A(9,7)为________．解析据题意可知，第m组有2m个数，则前8组共有2＋22＋23＋…＋28＝21－281－2＝29－2＝510个数，所以第9组的第7个数是数列{an}的第517项，即A(9,7)为a517＝3×517＋2＝1553.答案155316．在数列{an}中，对任意n∈N＋，都有an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是-6-等差比数列；④通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列，其中正确命题的序号为________．解析①正确．对于②，当等差数列的公差不为零时，k＝1；当等差数列的公差为零时，分母无意义．故②不对．对于③不一定是等差比数列，当等比数列的公比不等于1时，k等于等比数列的公比；当等比数列的公比等于1时，k值不存在．故③不对．答案①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2013·济南一模)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝bn＋2an＋2(n∈N＋)，求证：cn＋1＜cn≤13.解析(1)由an＋1＝2Sn＋1①得an＝2Sn－1＋1②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝3an，∴an＝3n－1，(3分)∴b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3n－6.(5分)(2)证明因为an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，所以cn＝3n3n＋1＝n3n，(7分)所以cn＋1－cn＝1－2n3n＋1＜0，cn＋1＜cn＜…＜c1＝13，所以cn＋1＜cn≤13.(10分)18．(12分)(2013·青岛一模)已知n∈N＋，数列{dn}满足dn＝3＋－1n2，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；数列{bn}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第an项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2013项和．-7-解析(1)∵dn＝3＋－1n2，∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝3×2n2＝3n.(3分)因为b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实数根，所以b2＋b4＝20，b2·b4＝64，解得：b2＝4，b4＝16，所以bn＝2n.(6分)(2)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4公比均是8，(8分)T2013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2012)＝2×1－810071－8＋4×1－810061－8＝20×81006－67.(12分)19．(12分)设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1＝2，a3＝a22－10.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是以函数y＝4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an－bn}的前n项和Sn.解析(1)设{an}的公差为d，则a1＝2a1＋2d＝a1＋d2－10，解得d＝2或d＝－4(舍)，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.(5分)(2)∵y＝4sin2πx＝4×1－cos2πx2＝－2cos2πx＋2，其最小正周期为2π2π＝1，故首项为1.因为公比为3，从而bn＝3n－1，(8分)所以an－bn＝2n－3n－1，(9分)故Sn＝(2－30)＋(4－31)＋…＋(2n－3n－1)＝2＋2nn2－1－3n1－3＝n2＋n＋12－12·3n.(12分)20．(12分)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2＋2n.(1)求数列{an}的最小值；(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞256成立的正整数n的最小值．-8-解析(1)当n＝1时，a1＝1＋2＝3，当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2＋2n，①可知a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2＋2(n－1)，②①－②，得nan＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，所以an＝2＋1n.(3分)又当n＝1时，a1＝2＋11＝3，故对n∈N＋，an＝2＋1n.由于an＋1－an＝2＋1n＋1－2＋1n＝1n＋1－1n＝n－n＋1n