定积分的几何应用举例

第八节定积分的几何应用举例一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积1、直角坐标系情形设曲线y=f(x)(x0)与直线x=a,x=b(ab)及x轴所围曲边梯形的面积为A,则xyo)(xfyabxxxd,d)(dxxfA.d)(baxxfA如右下图所示图形的面积：xyo)(1xfy)(2xfyabxxxd,d)]()([d12xxfxfA.d)]()([12baxxfxfA如图所示图形面积为xxfxfAbad|)()(|21yobxa)(2xfy)(1xfyxxxd解xxy2oy2xy例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积.得两曲线交点,)1,1(,)0,0(xxxd)1,1(1面积元素,d)(d2xxxAxxxAd)(21010333223xx.31问题：积分变量只能选x吗？xyo)(yxcd曲边梯形的面积yyyddcyyAd)(yyAd)(d)(1yx)(2yxxyocdyyyd图形的面积yyyAd)]()([d12dcyyyAd)]()([12解例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积.得两曲线交点,)1,1(,)0,0(x2yxoyyx)1,1(面积元素,d)(d2yyyAxyyAd)(21010333223yy.31解题步骤：1.根据题意画出平面图形.4.写出微元(面积元素)dA.2.求出边界曲线的交点.5.求出.dbaAA3.确定一个积分变量及其变化区间[a,b].例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解得两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy由xy224xy例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解得两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy由xy224xyyyyd,d)24(d2yyyA422d)24(yyyA423261421yyy.18例3计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.2xyxxy6321AAA1A2A解得交点为.)9,3(,)4,2(,)0,0(236xyxxy由],0,2[,d)6(d231xxxxxA],3,0[,d)6(d322xxxxxAxxxxd)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．xxxxAd)6(2023例4求椭圆12222byax的面积.abxoyxxxd解,ddxyA由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．.d40axyA利用椭圆的参数方程,)20(sincosttbytax应用定积分换元法得202dsin4ttbaba4212ba当a=b时得圆面积公式用参数方程表示的曲边梯形的面积若曲边梯形的曲边y=f(x)(axb)可化为参数方程)()(tytx则曲边梯形的面积baxyAd在[1t,2t](或[2t,1t])上)(tx有连续导数，)(ty连续..,;,21ttbxttax.d)()(21ttttt解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．axyA0d40332)cos(dsin4tatatttatad)sin(cos3sin42023例5求星形线围成图形的面积.taytax33sincostttadcossin1220242tttad)sin(sin1220642221436522143122a832aaaoyx练习：的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:ttad)cos1(2022ttad2sin420422tu令uuadsin8042uuadsin16204223aaxyA20dxyoa2求由摆线设由曲线)(及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．xodd面积元素d)]([21d2A曲边扇形的面积.d)]([212A2、极坐标系情形)(在],[上任取小区间]d,[．例6求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAd2cos214402aA.2axy2cos22a1A例7求心形线)cos1(a所围平面图形的面积)0(a.解d)cos1(21d22aA利用对称性知.232add)cos1(202212aA022d)coscos21(a022sin41sin223a求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）3、小结旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积1、绕x轴旋转所得旋转体体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间]d,[xxx，取以xd为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，xxfVd)]([d2xxxdxyo旋转体的体积为)(xfyxxfVbad)]([2yr解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间]d,[xxx，xo直线OP方程为例1如图的直角三角形绕x轴旋转的旋转体的体积．以xd为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为xxhrVdd2圆锥体的体积xxhrVhd20hxhr03223.32hraaoyx例2求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积xxaVaad33232.105323aayxb例计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xyd2x当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343aV方法2利用椭圆参数方程则xyVad202ttabdsin23222ab32234ab2、绕y轴旋转所得旋转体体积类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddcyyVd)]([2例3计算弧]2,0[,sinxxy，与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积xxyVxd)(220202dsinxx绕y轴旋转的旋转体体积yyxyyxVyd)(d)(22102110102210d)(arcsind)2(yyy3、补充(1)如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2例4求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为yQMPMVd][d22yyyd])43()43([22,d412yyyyVd41240.643dyPQM(2)曲边梯形绕直线x=a旋转所得旋转体体积旋转体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周4、小结四、平行截面面积为已知的立体的体积xoabxxxd如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,d)(dxxAV.d)(baxxAV立体体积例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积xxRVRRdtan)(2122.tan323R例6求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积xxRhVRRd22.212hRxoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.五、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxxxd取积分变量为x，在],[ba上任取小区间]d,[xxx，yd弧长元素22)(d)(ddyxs弧长.d)(12xysba2、直角坐标情形xyd)(12例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xyxxsd)(1d221,d1xx所求弧长为xxsbad1bax])1[(3223ab].)1()1[(322323ab例2计算曲线dsin0nxny的弧长)0(nx.解nnxny1sin,sinnxxysbad)(12xnxndsin10ntxtntdsin10tttttnd2cos2sin22cos2sin022tttnd2cos2sin0.4n例计算曲线ttyxdcos2的弧长.解dxys2221xxdcos122xxdcos1220xxd2cos2220202sin24x.4,0cosx.22x曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)d()d(dyxs222)d)](()([ttttttd)()(22弧长.d)()(22ttts3、参数方程情形例3求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14sstyxd42022tttadcossin3420.6a第一象限部分的弧长例4证明正弦线xaysin)20(x的弧长等于椭圆taytxsin1cos2)20(t的周长.证设正弦线的弧长等于1sdxys20211dxxa2022cos1设椭圆的周长为2s2dxxa022cos1,20222dtyxs根据椭圆的对称性知dttats02222cos1sin22,1s故原结论成立.dtt