高数公式(精简版)

高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sinlim1xxx→=（2）()10lim1xxxe→+=（3）lim()1nnaao→∞=（4）lim1nnn→∞=（5）limarctan2xxπ→∞=（6）limtan2xarcxπ→−∞=−（7）（8）limarccot0xx→∞=limarccotxxπ→−∞=（9）lim0xxe→−∞=（10）（11）limxxe→+∞=∞0lim1xxx+→=二、常用等价无穷小关系（0x→）（1）sinxx（2）tanxx（3）arcsinxx（4）arctanxx（5）211cos2xx−（6）()ln1xx+（7）（8）（9）1xe−xa1lnxax−()11xx∂+−∂三、导数的四则运算法则（1）（2）()uvuv′′±=±′()uvuvuv′′′=+（3）2uuvuvv′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v四、基本导数公式⑴()⑵0c′=1xxμμμ−=⑶()sincosxx′=⑷()cossinxx′=−⑸()2tansecxx′=⑹()2cotcscxx′=−x⑼()xxe′⑺()secsectanxx′=⋅x⑻()csccsccotxx′=−⋅e=⑽()⑾()lnxxaa′=a1lnxx′=⑿()1loglnxaxa′=⒀()21arcsin1xx′=−⒁()21arccos1xx′=−−⒂()21arctan1xx′=+⒃()21arccot1xx′=−+（17）()12xx′=五、微分运算法则⑴⑵⑶()duvdudv±=±()dcucdu=()duvvduudv=+⑷2uvduudvdvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴⑵⑶()0dc=()1dxxdxμμμ−=()sincosdxxd=xxx⑷⑸⑹()cossindxxd=−()2tansecdxxd=()2cotcscdxxd=−xxx⑺⑻⑼()secsectandxxxd=⋅()csccsccotdxxxd=−⋅()xxdeedx=⑽⑾()lnxxdaaadx=()1lndxdxx=⑿()1loglnxaddxxa=⒀()21arcsin1dxx=−dx⒁()21arccos1dxx=−−dx⒂()21arctan1dxdxx=+⒃()21arccot1dxdxx=−+七、下列常用凑微分公式积分型换元公式()()(1)faxbdxfaxbdaxba+=++∫∫uaxb=+()()()11fxxdxfxdxμμμμ−=∫∫μuxμ=()()()1lnlnlnfxdxfxdxx⋅=∫∫lnux=()()()xxxxfeedxfede⋅=∫∫xue=()()()1lnxxxxfaadxfadaa⋅=∫∫xua=()()()sincossinsinfxxdxfxd⋅=∫∫xsinux=cosux=()()()cossincoscosfxxdxfxd⋅=−∫∫xtanux=()()()2tansectantanfxxdxfxd⋅=∫∫x()()()2cotcsccotcotfxxdxfxd⋅=∫∫xcotux=()()()21arctanarcnarcn1fxdxftaxdtaxx⋅=+∫∫arctanux=()()()21arcsinarcsinarcsin1fxdxfxdx⋅=−∫∫arcsinux=x八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=′′=−−−′=−)(F)()()()()()())(()()(ξξξ九、曲率：.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss==′+′′==ΔΔ=′Δ′ΔΔΔ==′′+=→Δ的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα十、基本积分公式⑴⑵kdxkxc=+∫11xxdxcμμμ+=++∫⑶lndxxcx=+∫⑷lnxxaadxca=+∫⑸xxedxec=+∫⑹cossinxdxxc=+∫⑺sincosxdxxc=−+∫⑻221sectancosdxxdxxcx==+∫∫⑼221csccotsinxdxxcx==−∫∫+⑽21arctan1dxxcx=++∫⑾21arcsin1dxxcx=+−∫（12）tanlncosxdxxc=−+∫（13）cotlnsinxdxxc=∫+（14）seclnsectanxdxxxc=++∫（15）csclncsccotxdxxxc=−∫+（16）2211arctanxdxcaxaa=+∫+（17）2211ln2xadxcxaaxa−=+−+∫（18）221arcsinxdxcaax=−∫+（19）22221lndxxxacxa=+±+±∫十一、分部积分法公式⑴形如naxxedx∫，令nux=，axdvedx=形如sinnxxdx∫令nux=，sindvxdx=形如cosnxxdx∫令，nux=cosdvxdx=⑵形如arctannxxdx∫，令，arctanux=ndvxdx=形如lnnxxdx∫，令，lnux=ndvxdx=⑶形如，sinaxexdx∫cosaxexdx∫令ue均可。,sin,cosaxxx=十二、第二换元积分法中的三角换元公式(1)22ax−sinxa=t(2)22ax+tanxat=(3)22xa−secxat=十三、定积分应用相关公式：∫∫−−==⋅=⋅=babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：十四、几种常见的微分方程*微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。　　得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy−=∴=++====+====+=′∫∫)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(ϕϕϕ1.可分离变量的微分方程：()()dyfxgydx=，()()()()11220fxgydxfxgydy+=2.齐次微分方程：dyyfdxx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3.一阶线性非齐次微分方程：()()dypxyQxdx+=解为：()()()pxdxpxdxyeQxedxc−⎡⎤∫∫=+⎢⎥⎣⎦∫（1）一阶线性微分方程：)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+∫+∫=≠∫===+∫−−nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：（2）全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP=∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(（3）二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++xfxfxfyxQdxdyxPdxyd（4）二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中Δ′′′=++Δ=+′+′′式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2−qpxrxrececy2121+=两个相等实根)04(2=−qpxrexccy1)(21+=一对共轭复根)04(2−qp242221pqpirir−=−=−=+=βαβαβα，，)sincos(21xcxceyxββα+=（5）二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，]sin)(cos)([)()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmxωωλλλ+===+′+′′十五、空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuuvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+⋅=−+−+−==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxAvv十七、多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz−=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，　　，　隐函数＋，　　，　　隐函数隐函数的求导公式：　　　　时，，当　　　　　　　　：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：　　　全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧==　　　　　　　　　　　隐函数方程组：十八、微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy−=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间