初中几何最值问题

一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．P1C1A1PECBA【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．如图，若BO=33，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．OPNDCBAOCDN备用图初中几何最值问题例题精讲【例2】如图，90MON°，矩形ABCD的顶点A．B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________【巩固】已知：AOB△中，2ABOB，COD△中，3CDOC,ABODCO∠∠.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO∠，固定AOB△，将COD△绕点O旋转，则PM的最大值为____________PNMDCBAO【巩固】在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且10DEAB．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．GFEDxyOABM图2【例3】如图，已知11(,)2Ay，2(2,)By为反比例函数1yx图像上的两点，动点(,0)Px在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_________2、轴对称【例1】求22341xx的最小值【例2】ABCD是半径为5的O的两条弦，8AB，6CD，MN为直径，ABMN于点E,CDMN于点F，P为EF上任意一点，则+PAPC的最小值为_________PONMFEDCBA【巩固】设半径为1的半圆的圆心为O，直径为AB,CD、是半圆上两点，若弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在直径AB上，则+CPPD的最小值是_______【巩固】设正三角形ABC的边长是2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，则+PAPM的最大值为_______,最小值为________yxOABP【例3】如图，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p.若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是.FEDCBA【例4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x2＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1【例5】如图，直线323yx分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求BCD△的面积；（2）求△BCD周长的最小值；（3）当△BCD的周长取得最小值，且523BD时，求BCD△的面积．Axy1OD212MNB34CAxy1O21234C备用图Axy1O21234C备用图【例6】在直角坐标系中，1,2A，4,1B，,0Cm，,Dnn为四边形的4个顶点，当四边形ABCD的周长最短时，mn_________OyxABCD【巩固】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。图13ABxyODC图2ABxyODCPQEFABxyODC【例7】已知，如图1，二次函数2230yaxaxaa的图像的顶点为H，与x轴交于AB、两点（B在A的右侧），点HB、关于直线l：333yx对称．（1）求AB、两点的坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B作BKAH∥交直线l于点K，MN、分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HNNMMK、、，求HNNMMK的最小值．图1yxlHKBOA【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数232yxbxc的图象与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点,顶点为C.(1)求此二次函数解析式；(2)点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：3333yx交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DNNMMK和的最小值.【例8】在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OA，4OB，D为边OB的中点.（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且2EF，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【巩固】已知点A（3，4），点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．yBODCAxEDyBODCAx温馨提示：如图，可以作点D关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了.【例9】已知直线112yx与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使||AMMC的值最大，求出点M的坐标。【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线364yx与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出QAQO的取值范围.3、旋转【例1】如图，已知在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，30ODB，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线236yaxxc与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）点P为三角形ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.EOGFAyxDB【巩固】已知矩形ABCD，=10AD，=6AB，在矩形ABCD内有一点P，在BC边上有一点H,分别确定点P和H的位置，使得APDPPH最小HPDCBAABCD【巩固】直角梯形ABCD中，90BC，在梯形内求作一点O使OQBC于Q且+O+OADOQ的值最小QODCBA二、垂线段最短【例1】已知10AB,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和BP为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD长度的最小值是_______PDCBA【例2】如图，在锐角ABC中，4245ABBAC，°，BAC的平分线交BC于点DMN，、分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是___________．【巩固】矩形ABCD中，20AB，10BC.在AC、AB上各取一点M、N，使+BMMN的值最小，求这个最小值ABCDNMNMDCBA【例3】如图，在ABC△中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是________FECBA【例4】已知在ABC的BC边上取一点D，设ABD和ACD的外接圆的圆心分别是O和O，求：使两圆半径为最小值时点D的位置DO'OCBA【巩固】点M在ABC的AC边上，分别作ABM和CBM的外接圆。问当M点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小？MO'OCBA【例5】在已知ABC内，作内接矩形DEMN，使一边DE在最大边BC上，另外两个顶点M、N分别在边AC，AB上。试确定矩形DEMN的位置，使对角线DM长最短.NMEDCBA【巩固】点P在锐角ABC的边上运动，试确定点P的位置，使++PAPBPC最小，并证明你的结论.【例6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OAOBOAOB、（）的长分别是方程2430xx的两根，且45DAB°．（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为12dd、，试求12dd+的最大值．ycCclxcBcPcDcAO【例7】在直角坐标系中，点A坐标为（-3，-2），圆A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知OAB△是等腰三角形（OB为底边），顶点A的坐标是24（，），点B在x轴上，点Q的坐标是60，，ADx轴于点D，点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点（1）求点C的坐标（2）以点P为圆心、2为半径作圆，得到动圆P，过点Q作P的两条切线，切点分布为EF、，问：是否存在以OEPF、、、为顶点的四边形的最小面积为S？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．QOyxDCBA三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例1】如图，⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为________PO2、设A是⊙O内一点，在连接A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设A是⊙O外一点，在连接A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短【例1】在直线MN的同侧有定点A及定圆圆O，试在MN上求一点P，在圆O上求一点Q，使APPQ最短APQONM【例2】点P在图形M上，点Q在图形N上，记maxdMN，为线段PQ长度的最大值，mindMN，为线段PQ长度的最小值，图形MN、的平均距离maxmin2dMNdMNEdMN，，，．（1）在平面直角坐标系xOy中，O是以O为圆心，2为半径的圆，且1322A，，223B，，求EdAO，及EdBO，；（直接写出答案即可）．（2）半径为1的C的圆心与坐标原点O重合，直线343-33yx与x轴交于点D，与y轴交于点F，记线段DF为图形G，求EdGC，．（3）在（2）的条件下，如果C的圆心C从原点沿x轴向右移动，C的半径不变，且52EdGC，，求圆心C的横坐标．