趣味数学讲座

主讲人：赵国钊《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子——古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！”在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805～1859)首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。形式一：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于2.（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。形式二：设把n·m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m＋1，因为ai是整数，所以ai≤m，于是有：a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n·m＜n·m＋1n个m这与题设相矛盾。所以，至少有存在一个ai≥m＋1.1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。要使16个小朋友个到的饼干数各不相同至少需要1+2+3+…+15+16=(116)162136这与只有135块饼干矛盾.所以一定有2个小朋友得到的饼干数目相同.假设无人借6本或6本以上的图书，则全班至多借书5×42=210（本）.但全班共借来212本，所以要么至少有两人借6本，要么至少有1人借7本.1.有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？最多取出8根只有一种颜色的筷子，再取任意3根即可保证达到要求。所以至少要取11根.2.在1只箱子里面放着红、黑、白三种颜色的手套各6副，如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套，问至少要取出多少只才能达到要求？12＋12＋1＝25至少取出15只手套才能达到要求.3.在23×23的方格纸中，将1~9这9个数字填入每个小方格中，并对所有形如“十字”的图形中的5个数字求和，对于小方格中的数字的任意一种填法，其中和数相等的“十字”图形至少有多少个？在23×23的方格纸中共有21×21=441个“十”字图形，“十”字图形中5个数字的和最小为5，最大为45，共有45-4=41种不同的和.由441=41×10+30可知，和数相等的“十”字图形至少有11个.4.400人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从1月1日排到12月31日，共有366个不相同的生日，我们把366个不同的生日看作366个抽屉，400人视为400个苹果，由表现形式1可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理的表现形式1可以得知：至少有两人的生日相同.5.边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8.EDFG解：将边长为1的正方形等分成边长为的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据形式2，必有三点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论.12把落在这个正方形中的三点记为D、E、F.通过这三点中的任意一点（如E）作平行线，如图可知：2121)h21(21214h814h81×h＋＝＝S△DEF＝S△DEG＋S△EFG≤EDFG6.任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3除余数为0，1，2的整数各归入类r０，r1，r2.至少有一类包含所给５个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：１°.某一类至少包含三个数；２°.某两类各含两个数，第三类包含一个数.若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被3整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除.综上所述，原命题正确.7.某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同.证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.(用反证法)假设无５人或５人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有５人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：4(50＋51＋…99＋100)＝4×251)10050(＝15300＜15301得出矛盾.所以，至少有5人植树的株数相同.形式一：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于2.形式二：设把n·m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。抽屉原理的两种常见形式:抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也到处在起作用，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。