等差数列·例题解析

等差数列·例题解析【例1】在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98．代入an＝a1＋(n－1)d中，有98＝7＋(n－1)·7解得n＝14答100以内有14个能被7整除的自然数．【例2】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．解设这五个数组成的等差数列为{an}由已知：a1＝－1，a5＝7∴7＝－1＋(5－1)d解出d＝2所求数列为：－1，1，3，5，7．【例3】53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间12插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．解d=312(5)d=d=34原数列的公差－＝，所以新数列的公差′，期通项为3212annnn534134234234()即a=34n【例4】在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N令，则＝－＝为使为整数，令＝，a=b3n4m3nnm3knm433m得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)．则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3∴n＝166－84＋1=83∴共有83个数．【例5】三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．解设三个数分别为x－d，x，x＋d．则－＋＋＋－＋＋＋(xd)x(xd)=15(xd)x(xd)=83222解得x＝5，d＝±2∴所求三个数为3、5、7或7、5、3说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．【例6】已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．证∵a、b、c成等差数列∴2b=a＋c∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．【例7】abab若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111abcc可能是等差数列．分析直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．证假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c又∵、、成等差数列，∴，即＝＋．111211abcbac2acb(ac)∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．又∵a、b、c不为0，∴a、b、c为等比数列，又∴a、b、c为等差数列，∴a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，∴假设是错误的．∴a、b、c不可能成等差数列．【例8】解答下列各题：(1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证：①对任意k∈N，关于x的方程akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x(2)ABCabck{}cotcotcot11222xABCk分析与解答(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0∴＝－或＝－x1xkaaxaaaaaadkkkkkkkkk22211112∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}11xk(2)由条件得2b=a＋c∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC∴∵＋＋＝π∴∴4sinB2cosB2=2sinA+C2cosAC2ABCsinA+C2=cosB22sinB2=cosA2C分析至此，变形目标需明确，即要证2cotB2=cotA2cotC2＋由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有cotcotcossincossinsinsinsinsin(coscos)()cossinsincotACAACCACACACACACBBBB222222222212222222222将条件代入∴、、成等差数列．cotA2cotB2cotC2【例9】若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：1111223111aaaaaanaannn…分析11111aaaaaaaadnnnnnnnn证明设该数列的公差为d，则a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d∴a1－an+1=－nd∴－左式…d=a=a11anaaaaaaaaaaannnnn1212232311aadaaaannaannnn11111111右式∴原等式成立．【例10】设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，bbyb234，，，均为等差数列，求．bbaa4321分析解d=yx51(1)=yx52(2)可采用＝由aamnaabbmn21433264(2)(1)÷，得bbaa432183