平面向量经典习题汇总

平面向量经典习题汇总1.(北京理.2)已知向量a、b不共线，ckab(kR),dab,如果c//d，那么（）A．1k且c与d同向B．1k且c与d反向C．1k且c与d同向D．1k且c与d反向【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.取a1,0，b0,1，若1k，则cab1,1，dab1,1，显然，a与b不平行，排除A、B.若1k，则cab1,1，dab1,1，即c//d且c与d反向，排除C，故选D.2.(北京文.2)已知向量(1,0),(0,1),(),abckabkRdab，如果//cd，那么A．1k且c与d同向B．1k且c与d反向C．1k且c与d同向D．1k且c与d反向.【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.∵a1,0，b0,1，若1k，则cab1,1，dab1,1，显然，a与b不平行，排除A、B.若1k，则cab1,1，dab1,1，即c//d且c与d反向，排除C，故选D.3.(福建理.9;文.12)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于w.wA．以a，b为两边的三角形面积B以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积【解析】依题意可得cos(,)sin(,)bcbcbcbaacS故选C.4.(广东理.6)一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为2和4，则3F的大小为wA.6B.2C.25D.27w.w.w.k.s.5.u.【解析】28)60180cos(20021222123FFFFF，所以723F，选D.5.(广东文.3)已知平面向量a=,1x（），b=2,xx（－），则向量abA平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】ab2(0,1)x,由210x及向量的性质可知,选C6.(湖北理.4,文7)函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到'F,'F的函数解析式为(),yfx当()yfx为奇函数时，向量a可以等于.(,2)6A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D【解析】由平面向量平行规律可知，仅当(,2)6a时，F：()cos[2()]266fxx=sin2x为奇函数，故选D.7.(湖北文.1)若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b【解析】由计算可得(4,2)3ccb故选B8.(湖南文.4)如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．0ADBECFB．0BDCFDFC．0ADCECFD．0BDBEFC图1【解析】,,ADDBADBEDBBEDEFC得0ADBECF，或0ADBECFADDFCFAFCF.故选A.9.(辽宁理,文.3)平面向量a与b的夹角为060，(2,0),||1ab，则|2|ab（Ａ）3（Ｂ）23（Ｃ）4（Ｄ）12FEDCBA图1【解析】1cos,2ab，||2a，||1b，222(2)44abaabb144214122，|2|ab23。选B10.(宁夏海南理.9)已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）【解析】,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知，为的重心;00,,,PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPBAPBCP，，同理，为ABC的垂心，选C11.(全国理.6)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则acbc的最小值为()（A）2（B）22（C）1(D)12【解析】,,abc是单位向量2()acbcababccw.w.w.k.s.5.u.c.o.m|||12cos,121|abcabc,故选D.12.(全国理,文.6)已知向量(2,1)a，10ab,||52ab,则b（A）5(B)10(C)5(D)25【解析】将||52ab平方即可,故选C13.(山东理.7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则（）A.0PAPBB.0PCPAC.0PBPCD.0PAPBPC【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答因为2BCBABP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。14.(陕西理.8)在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学ABCP第7题图2APPM,则科网()PAPBPC等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（A）49（B）43（C）43(D)49【解析】222244()()3399PAPMPAMPAPBPCPAPHAMAMAM是的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP,故选A15.(浙江文.5)已知向量(1,2)a，(2,3)b．若向量c满足()//cab，()cab，则c（）A．77(,)93B．77(,)39C．77(,)39D．77(,)93【解析】不妨设(,)Cmn，则1,2,(3,1)acmnab，对于//cab，则有3(1)2(2)mn；又cab，则有30mn，则有77,93mn故D16.(重庆理.4)已知1,6,()2ababa，则向量a与向量b的夹角是（）A．6B．4C．3D．2【解析】2()6cos,121cos,,23abaabaababab故选C17.(重庆文.4)已知向量(1,1),(2,),xab若a+b与4b2a平行，则实数x的值是A．-2B．0C．1D．2【解析】法1:因为(1,1),(2,)abx，所以(3,1),42(6,42),abxbax由于ab与42ba平行，得6(1)3(42)0xx，解得2x。法2因为ab与42ba平行，则存在常数，使(42)abba，(21)(41)ab，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故2x故选D二.填空题:1.(安徽理.14)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是________.【解析】设AOC,,OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB，即01cos21cos(120)2xyxy∴02[coscos(120)]cos3sin2sin()26xy2.(安徽文.14)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=AE+AF,其中,R,则＋_____.学科网【解析】11,,22ACABADAEADABAFABAD33()22AEAFABADAC，∴2()3ACAEAF，∴433.(广东理.10)若平面向量a，b满足1ba，ba平行于x轴，)1,2(b，则a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】)0,1(ba或)0,1(，则)1,1()1,2()0,1(a或)1,3()1,2()0,1(a.4.(湖南文.15)如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则x___________，y________.【解析】作DFAB,设12ABACBCDE，60DEB,6,2BD图26045EDBCA由45DBF解得623,222DFBF故31,2x3.2y5.(江苏文理.2).已知向量a和向量b的夹角为30o，||2,||3ab，则向量a和向量b的数量积ab=___________。【解析】考查数量积的运算。32332ab6.(江西理.13)已知向量(3,1)a，(1,3)b，(,7)ck，若()ac∥b，则k=．【解析】36(3,6)//513kackbk7..(江西文.13)已知向量(3,1)a，(1,3)b，(,2)ck，若()acb则k=．【解析】因为(3,1),ack所以0k8.(天津理.15)在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是【解析】因为AB=DC=（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以1133()BABCBDBABCBABCBDBD33,2,6BDBABCBABCBD即则四边形ABCD的面积为16262324S9.(天津文.15)若等边ABC的边长为32，平面内一点M满足CACBCM3261,则MBMA________.【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(BAC这样利用向量关系式，求得M)21,233(，然后求得)25,23(),21,23(MBMA，运用数量积公式解得为-2.三.解答题:1.(广东理.16)已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（1）∵a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，∴55cos,552sin.（2）∵20，20，∴22，则10103)(sin1)cos(2，∴cos22)sin(sin)cos(cos)](cos[.2.(广东文.16)已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中)2,0(（1）求sin和cos的值（2）若cos53)cos(5，02,求cos的值【解析】（１）abvvQ,sin2cos0abvvg,即sin2cos又∵2sincos1,∴224coscos1,即21cos5,∴24sin5又25(0,)sin25,5cos5(2)∵5cos()5(coscossinsin)5cos25sin35coscossin,222cossin1cos,即21cos2又02,∴2cos2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3.(湖北理科17.)已知向量(cos,sin),(cos,sin),(1,0