2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(3)

2020年全国高等学校招生全国统一考试（3卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合*{(,)|,,},{(,)|8}AxyxyNyxBxyxy,则AB中元素的个数为A.2B.3C.4D.62.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,pppp，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4ppppB.14230.4,0.1ppppC.14230.2,0.3ppppD.14230.3,0.2pppp4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()1tKIte，其中K为最大确诊病例数.当*()0.95ItK时，标志已初步遏制疫情，则*t约为(ln1933)（）A.60B.63C.66D.695.设O为坐标原点，直线2x与抛物线C：22(0)ypxp交于D,E两点.若ODDE，则C的焦点坐标为（）A.1,0)4(B.1(,0)2C.(1,0)D.(2,0)6.已知量,||=5||=6=-6ababab满足，，，则cos,aab（）A.1335B.1935C.1735D.19357.2433ABCACBC在中，cosC=，，，则cosB=（）A.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）222A.642B.442C.623D.4239.2tantan()7,tan4已知则（）A.2B.1C.1D.210.若直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，则l的方程为（）A.21yxB.122yxC.112yxD.1122yx11.设双曲线C:22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12FF，，离心率为5.P是C上一点，且12FPFP，若12PFF的面积为4，则a（）A.1B.2C.4D.812.已知544558,138，设5813log3,log5,log8abc则（）A.abcB.bacC.bcaD.cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,xy满足约束条件0201xyxyx，则32zxy的最大值为.14.262()xx的展开式中常数项是（用数字作答）.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为.16.关于函数1()sinsinfxxx有如下四个命题：①()fx的图像关于y轴对称；②()fx的图像关于原点对称；③()fx的图像关于直线2x对称；④()fx的最小值为2.其中所有真命题的序号是.三、解答题：共70分.17.(12分)设数列{}na满足11=334.nnaaan，（1）计算23aa，，猜想{}na的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}nna的前n项和nS.18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下列的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd19.（12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点E，F分别在棱11DDBB，上且12,DEED12.BFFB(1)证明：点1C在平面AEF内；(2)若1=213ABADAA，，，求二面角1AEFA的正弦值.2()PKk0.0500.0250.010k3.8415.0246.635锻炼人次空气质量等级20.(12分)已知椭圆2221(05)25xyCmm：的离心率为154，,AB分别为C的左右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||,BPBQBPBQ，求APQ的面积.21.(12分)设3(),fxxbxcxR，曲线()fx在点11(())22f，处的切线与y轴垂直.(1)求b；(2)若()fx有一个绝对值不大于1的零点，证明：()fx的所有零点的绝对值都不大于1.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为222,(1)23xttttytt为参数且，C与坐标轴交于,AB两点.(1)求||AB；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.