相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：比例的性质示例剖析（1）基本性质：()acadbcbdbdxyxy（2）反比性质：()acbdabcdbdacxyxy()xy（3）更比性质：acabbdcd或dcba()abcdxyxy或yx()xy（4）合比性质：acabcdbdbd()bdxxyyy()y（5）分比性质：acabcdbdbd()bdyyxxx()x（6）合分比性质：acabcdbdabcd(,,)bdabcdxxyyxy(,)yxy（7）等比性质：()acmbdnbdnacmabdnb()bdnL已知xyz，则当xyz时，xyzxyz.二、成比例线段的概念：1．比例的项：在比例式::abcd（即acbd）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式::abbc（即abbc）中，b称为a，c的比例中项，满足bac．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即acbd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ACABBC），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中.ACABAB，BCAB.AB，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理BAC两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////lll，则ABDEBCEF，ABDEACDF，BCEFACDF．ADBECF1l2l3lADBECF1l2l3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为上上下下，上上全全，下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则AEAFEBFC，AEAFABAC，BECFABAC．ABCEFFECBA平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若AEAFEBFC或AEAFABAC或BECFABAC，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EFBC交AC于'F点，再证明'F与F重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定1．相似图形①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的定义定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．对应边的比例叫做相似比．全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形的相似比是1．如图，△ABC与'''△ABC相似，记作'''△∽△ABCABC，符号∽读作“相似于”．注意：如果写成“∽”，则前后的字母一定对应；如果写成文字，则可以不对应．BA'AC'B'C3．相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等．如图，∽△△ABCABC，则有AA，BBCC，．②相似三角形的对应边成比例．如图，∽△△ABCABC，则有ABBCACkABBCAC（k为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，△ABC∽△ABC，AMAH、和AD是△ABC中BC边上的中线、高线和角平分线，AM、AH和AD是△ABC中BC边上的中线、高线和角平分线，则有ABBCACAMAHADkABBCACAMAHAD④相似三角形周长的比等于相似比．如图，△ABC∽△ABC，则有ABBCACABBCACkABBCACABBCAC．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，△ABC∽△ABC，则有△△ABCABCBCAHSBCAHkSBCAHBCAH4．相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果'AA，'BB，则△∽△ABCABC．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果ABBCACABBCAC，则△∽△ABCABC．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果ABACABAC，'AA，则△∽△ABCABC．五、“A”字和“8”字模型基本模型图形重要结论“A”字型BADEC∥△∽△ADAEDEDEBCADEABCABACBC“8”字型ADCBO∥△∽△ABOAOBABCDAOBCODCDOCOD六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG是△ABC的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则有：△∽△ADGABC，DGANBCAM．特别地，当BAC时，有△∽△∽△∽△ADGEBDFGCABC．NMGFEDCBAGFEDCBA七、“A”字和“8”字模型的构造“A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：GFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBAGAHDFBECAGDFBEC八、斜“8”模型如图为斜“8”字型基本图形．当AD时，AOBDOC△△∽则有AOBOABDOCOCD．※AOOCBOOD．ODCBA九、斜“A”模型如图为斜“A”字型基本图形．当AEDB时，ABCAED△△∽则有AEADDEABACBC．※AEACADAB．ABCDE如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形．当ACDB时，ABCACD△△∽则有ACADCDABACBC．※ACADAB．ABCD如图所示，当E点在AC的延长线上时，为另一个常见的变形．当AEDB时，ABCAED△△∽则有AEADDEABACBC．※AEACADAB．ABCED十、射影定理在RtABC△中，BAC，ADBC于D．射影定理：（1）ADBDCD；（2）ABBDBC；（3）ACCDCB．BCAD注意：（1）射影定理可以直接用，是用ABDCADCBA△∽△∽△来证明的．（2）射影图形中，另外有下面的关系．①角的相等关系：BCAD，CBAD．②同一三角形中三边的平方关系：ABADBD、ACADCD、BCABAC．十一、三平行模型如图，已知ABEFCD∥∥．（1）111ABCDEF．（2）111ABDBCDBDESSS△△△．FEDCBA证明：ABEFCD∥∥∵，EFDFABBD∴，EFBFCDBD，1EFEFDFBFABCDBD∴，111ABCDEF．十一二、三垂直模型如图，ABBD，EDBD，ACEC．（1）ABCCDE△∽△，则ABBCACCDDECE．（2）※ABDEBCCD．（3）当C是BD中点时，则有ABCCDEACE△∽△∽△．ABCDE变形：如图，ABCCDEACE．（1）ABCCDE△∽△，则ABBCACCDDECE．（2）※ABDEBCCD．（3）当C是BD中点时，则有ABCCDEACE△∽△∽△．EDCBAABCDE证明：∵ABCCDE△∽△，∴ABACCDCE，又C是BD中点，∴BCCD,∴ABACBCCE,即ABBCACCE,又ABCACE，∴ABCACE△∽△．十三、角平分线定理内角平分线定理：如图，在ABC△中，AD是BAC的角平分线，则有ABBDACCD．BADC证明：过C作CEAD∥交BA延长线于E．∵CEAD∥，∴1E，23又∵AD平分BAC，∴12，∴3E，∴AEAC，由CEAD∥可得：ABBDAECD，∴ABBDACCD外角平分线定理如图，在ABC△中，BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有ABBDACCD．BACDBEDCA123证明：过C作CEAD∥交AB于E．∵CEAD∥，∴13，24又∵AD平分CAF，∴12，∴34，∴AEAC，由CEAD∥可得：ABBDAECD，∴ABBDACCD十四、线束模型MNNMABCEFABCFEMNNMABCEFABCFE若EFBC∥，则有ENBMNFMC．若EFBC∥，则有ENBMNFMC．题型一比例的性质和成比例线段的概念例题1（1）已知::::xyz，则xyzxyz的值是_______．（2）若xyz．则xyzxy_______．（3）若abc，且abc，则abcb的值是_______．解析（1）设xk，yk，zk．∴xyzkkkxyzkkk；（2）；（3）巩固1：（1）如果:2:3xy，则下列各式不成立的是（）A．53xyyB．13yxyC．123xyD．1314xy（2）已知：23acebdf，求值：①acbd；②2323acebdf．（3）已知bcacababcabc，求()()()abbcacabc的值．解析：（1）A为合比性质，B为分比性质，C显然正确，D错误，由于11xy，不能用等比定理．故答案为D．（2）由等比性质直接可以得到23acbd；232233acebdf．（3）当0abc时，()()()bcacababcbcacababcabcabc于是：2,2,2bcaacbabc，()()()abbcacabc．当0abc时，()()()()()()abbcaccababcabc．本题答案为1或8．BACDE3421F题型二平行线分线段成比例定理例题2（1）如图2-1，已知∥∥lll，用面积法证明：ABDEBCEF．（2）如图2-2，∥∥ADBECF，若AB，AC，DE，则DF______．（3）如图2-3，∥∥lll，AB，BC，DF，则_______DE，______EF．ADBECFl2l3lADBECFADBECFl2ll图2-1图2-2图2-3（1）如图所示，连接AE，BD，BF，CE．△△ABECBESABBCS∴．∥ADBE∵，∥BECF，△△ABEDEBSS∴，△△CBEFEBSS．△△△△ABEEDBCBEEFBSSABDEBCSSEF∴．（2）252；（3），．巩固2：（1）如图2-1，直线∥∥l