概率论习题试题集6

1第六章参数估计一、填空题1.若一个样本的观测值为0，0，1，1，0，1，则总体均值的矩估计值为___________，总体方差的矩估计值为___________。2.设1，0，0，1，1是来自两点分布总体),1(pB的样本观察值，则参数pq1的矩估计值为___________。3.若由总体),(xF（为未知参数）的样本观察值所求得95.0)9.355.35(XP，则称___________是的置信度为___________的置信区间。4.设由来自正态总体)9.0,(~2NX容量为9的简单随机样本,得样本均值5X,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________。5.设一批产品的某一指标),(~2NX,从中随机地抽取容量为25的样本,测得样本方差2210S,则总体X的方差2的置信区度为%95的置信区间为___________.二、选择题1.设总体),(~2NX,其中2已知,则总体均值的置信区间长度l与置信度1的关系是()（A）当1缩小时,l缩短；（B）当1缩小时,l增大；（C）当1缩小时,l不变；（D）以上说法都错。2.设总体),(~2NX，2已知，若样本容量n和1均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度（）。（A）变长；（B）变短；（C）不变；（D）不能确定。3.设nXXX,,21是来自总体的一个样本，2,DXEX，则方差2的无偏估计值是（）（A）当已知时，统计量niiXn12)(1；（B）当已知时，统计量niiXn12)(11；（C）当未知时，统计量niiXXn12)(1；（D）当已知时，统计量niiXXn12)(11。24.设为总体X的未知参数，)(,2121为样本统计量，随机区间),(21是的置信度为1)10(的置信区间，则有（）（A）)(21P；（B）1)(2P；（C）1)(21P；（D）)(1P5.从总体X中抽取简单随机样本321,,XXX，易证统计量3211613121XXX，3212414121XXX；3213313131XXX；3214525251XXX都是总体均值EX的无偏估计量，则其中更有效的估计量是（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）4三、计算题1.设nXXX,,,21为来自总体X的一个样本，X服从均匀分布],1[U，其中未知。（1）求矩估值.2.设某市的新生儿体重X(单位:克)服从正态分布),(2N,现测量10名新生儿的体重如下:3100,3480,2520,3700,2520,3200,2800,3800,3020,3260.(1)求参数2,的矩估计;(2)求参数2的无偏估计.3.某铁路局证实,一个扳道员在5年内所引起的严重事故次数服从参数为的泊松分布.设r表示一扳道员在5年内引起的严重事故次数,t表示观察到的扳道员人数,有r012345t444221942求未知参数的最大似然估计值以及求出一个扳道员在5年内引起严重事故的概率。4.设总体X的概率密度)1,0(,0)1,0(,)1(),(xxxxf，其中1。求：（1）的矩估计量；（2）的最大似然估计量。5.某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）如下：6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0若干燥时间X服从正态分布),(2N,求的置信度为0.95的置信区间:(1)由以往经验知6.0小时；(2)未知.36.设某地旅游者消费额服从正态分布),(2N，且标准差12元。今对该地区旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差的绝对值会小于2元，问至少要调查多少人？7.为确定某种溶液中的甲醛浓度，取得4个独立测量值的样本，并算得样本均值%34.8X，样本标准为%03.0S。设被测总体近似地服从正态分布，05.0，试分别求2,的置信区间。8.某手表厂生产的丽达牌手表,它的走时误差(单位:秒/日)服从正态分布,检验员从装配线上随机地抽取9只进行检测,检验的结果如下:-4.0,3.1,2.5,-2.9,0.9,1.1,2.0,-3.0,2.8设置信水平为0.95,求该手表的走时误差的均值和2的置信区间.9.设总体X服从正态分布),(2N,已知202,要使总体均值对应置信水平1的置信区间的长度不大于l,问应抽取多大容量的样本?10.总体~(,2)XU，其中0是未知参数，又1,,nxx为取自该总体的样本，x为样本均值。（1）证明2ˆ3x是参数的无偏估计和相合估计.（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？11.设123,,xxx是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）1123111ˆ236xxx；（2）2123111ˆ333xxx；(3)3123112ˆ663xxx；12.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在0.85，现抽取了一个容量为25n的样本，测定其强度，算得样本均值为2.25x，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间。13.总体2~(,)XN，2已知，问样本容量n取多大时才能保证的置信水平为95%的置信区间的长度不大于k。14.0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体X的样本，已知lnYX服从正态分布(,1)N。（1）求的置信水平为95%的置信区间；（2）求X的数学期望的置信水平为95%的置信区间。15.用一个仪表测量某一物体量9次，得样本均值56.32x，样本标准差0.22s。4（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间。16.已知某种材料的抗压强度2~(,)XN，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482493457471510446435418394469。（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间（2）如已知30，求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间;（3）求的置信水平为95%的置信区间。17．在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格率的置信水平为0.90的置信区间。18.某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商量过去的一些销售量，数据如下：月销售量910111213141516月分数1613129421试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间。19.为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为123450.09,0.11,0.14,0.10,0.11sssss，试求的0.95置信区间。参考答案：一、填空题：1）41,21；2）52q；3）（35.5,35.9),(0.95)；4）4.412,5.588；5）60.969,193.533。二、选择题：1）A：2）C；3）D；4）C；5）C。三、计算题：1.9633.1,12X；2.178320,31402;198133。3.X，1230.1，3253.0)0(123.1eXP。54.XX212；1ln1niiXn。5.(5.608,6.392),(5.558,6.442)。6.至少要调查139人。7.41000029.0,4100125.0。8.(-1.865,2.425);(3.588,28.624)。9.222204uln。10.解：（1）总体~(,2)XU，则23(),()212EXDX，从而23(),()212ExDxn于是，2ˆ()()3EEx，这说明2ˆ3x是参数的无偏估计。进一步，224ˆ()091227Dnn。这就证明了ˆ也是的相合估计。（2）似然函数为(1)(){2}1()()nnxxLI，显然()L是的减函数，且的取值范围为()(1)2nxx，因而的最大似然估计为()ˆ2nmlex。下求ˆmle的均值与方差，由于()nx的密度函数为111()()(),2nnnxnfxnxx，故211()021()()()1nnnnnnnnxxxdxttdtn，222212()482()()(2)(1)nnnnnnxxxdxnn，2()2()(2)(1)nnDxnn，从而()121ˆ()()22(1)nnEExnn，这说明ˆmle不是的无偏估计，而是的渐近无偏估计。又62()21ˆ()()0()44(1)(2)nnDDxnnn，因而ˆmle是的相合估计。11.解：先求三个统计量的数学期望，1123111111ˆ()()()()236236EExExEx，2123111111ˆ()()()()333333EExExEx，3123112112ˆ()()()()663663EExExEx。这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为2，则222211231111117ˆ()()()()4936493618DDxDxDx，222221231111111ˆ()()()()9999993DDxDxDx，222231231141141ˆ()()()()36369363692DDxDxDx，不难看出213ˆˆˆ()()()DDD，从而3ˆ的有效性最差。12.解：这是方差已知时正态均值的区间估计问题。有题设条件10.95a，0.05a，查表知0.9751.96u，于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为1/21/2[/,/][2.251.960.85/25,2.251.960.85/25][2.250.3332,2.250.3332]aaxunxun，即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168,2.5832]。13.解：由已知条件得的0.95的置信区间为1/21/2[/,/]aaxunxun其区间长度为1/22/aun，若使1/22/aunk，只需2221/2(2/)anku。由于1/21.96au，故22223.92(2/)1.96()nkk，即样本容量n至少取23.92()k时，才能保证的置信水平为95%的置信区间的长度不大于k。14.解：（1）将数据进行对数变换，得到lnYX的样本值为0.6931,0.2231,0.2231,0.6931。它可看作是来自正态总体(,1)N的样本，其样本均值为0y，由于1已知，因此，的置信水平为95%的置信区间为1/21/2[/,/][0.9800,0.9800]aayunyun。7（2）由于12EXe是的严增函数，利用（1）的结果，可算得X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为0.980.50.980.5[,][0.6188,4.3929]ee。15.解（1）此处22(1)80.220.3872ns