换元积分法

第二节换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法.d2cosxx求一、第一类换元法例1，uxd21d原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cosu，du=2dx，从而xxdcosuuuuxxdcos21d21cosd2cos所以有？.2sin21d2cosCxxx分析.sin21dcos21cossincossinddCuuuuuuuuu的原函数，因此有被积函数是而言，，即对新的积分变量由于.2sin21sin212CxCuxu代回，得再把综合上述分析，此题的正确解法如下：,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d(1))]([)d()]([CxFxx'xf定理5.2证依题意有)()d(，CuFuuf即有),()(ddufuFx又由复合函数微分法可得)()()d(有具有连续导数，则如果，设xuCuFuuf)()(x'uf.)()(x'xf)(ddxFuxuuFudd)(dd)(xx令根据不定积分的定义，则有.)(d)()(CxFxx'xf公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.例2求.d)13(2008xxd31d20082008)13(uxux－于是有，，得，得令uxxuxud31d3dd13解uud31=2008.)13(60271200913120092009CxCu例3求.d231xx于是有，，得得令d21dd2d,23uxxuxu解d211d231uuxxuud121=Cu221.23Cx用第一换元积分法求不定积分的步骤是：uufxx'xfxx'uxuxx'xfd)(d)()(d)(d),(d)()(.1，于是有作变量代换，令的形式，若能将被积表达式化为换元.)(d)()()()()(.2CuFuufufu'FuFufu则，，使得得易积分的，即如果易求是容，若被积函数为换元后的积分变量是积分.)()()(.3CxFxCuFxu的函数，即得答案为积分变量中，还原为原代入已求出的把还原上述过程可表示为uufxx'xfxuxx'ud)(d)()()(d)(d令CuFufuF)()()('.)()(CxFxu代回例4求.d42xxxd2d42则，，则令xxuux解d21d42uuxxxCu233221=.31)4(223Cx还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中作变量代换还需要在被积表达式中再凑出即，也就是，这样才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为),(xxx'd)()(dxudCxFuufxxf)(d)()(d)(在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.例5求).1(d)(nxAaxn)d(1d)()(axAxAaxaxnn解).1(1111)()(11nCnACnAaxaxnn例6求.dxaxA)d(1daxaxAxaxA解.lnCaxA例7求.d13322xxxx，)13(dd)32(2xxxx解)13d(131d1332222xxxxxxxx.13ln2Cxx例8求xxxd)ln(2，)lnd(d1xxx解)lnd(d)(ln)(ln22xxxxx.31)(ln3Cx例9求.d12arctanexxx，)(arctandd112xxx解)d(arctand1eearctan2arctanxxxxx.earctanCx用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在下列各式中，a，b均为常数，且):0a).(d1d.1baxax).(d2d1.4bxaaxx).(d21d.22baxaxx).1()(d)1(1d.31baxaxx).(d1d1.52bxaaxx).(lndd1.6bxxx).arccosd()arcsind(d11.102xxxx).e(dde.7bxxx).sin(d1dcos.8bxaaxx).cos(d1dsin.9bxaaxx).cotarc(d)(arctandd11.112xxxx例10求.d122xxaaxaaxd1112xxaxaxad111d12222解.arctan1Caxa.d122x-xa例11求xax-axxad111d1222解axaaxd1112.arcsinCax例12求.d122xaxxaxaxaxaxd1121d122解.ln21Caxaxa)d(1)d(121axaxaxaxaxaxxaxad1d121Caxaxalnln21类似地，有.ln21d122Cxaxaaxxa例13求.dtanxx.|cos|ln=Cx类似地，有.|sin|lndcotCxxxdcossindtanxxxxx解)d(coscos1xx第一换元积分法还适合求一些简单的三角有理式的积分.如计算形如：xxxnmdcossin的积分，可分两种情况：.sinsinddcoscos)cosd(dsin.,)1(不定积分然后逐项按幂函数计算的多项式函数，于，并把被积函数化为关凑成为奇数时，可将的多项式函数；而当于，并把被积函数化为关凑成为奇数时，可将当中至少有一个为奇数时若xxxxnxxxxmnm.,)2(降幂后再逐项积分为偶数时，用半角公式若nm例14求.dcossin4xxx)sind(dcossinsin44xxxxx解.51sin5Cx例15求.dcossin43xxx，)(sin)1(sinsincoscoscoscoscossincossin64424243xxxxxxxxxxx解xxxxxxxd)(sindcoscoscossin6443)d(cos)(coscos64xxx.5171coscos57Cxx还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.例16求.d2sinxx)d(2)2sin(21dsin2xxxx解法1.2cos21Cxxxxxxdcossin2dsin2解法2.)sind(sin2sin2Cxxxxxxxxdcossin2dsin2解法3.)d(coscos2cos2Cxxx.2cos21cos,sin212cos211cossin2222的说，三种解法都是正确也就是果都属同一个函数族，以上三种解法所得的结，所以相互间只差一个常数项，，可知因为xxxxxx二、第二类换元积分法d12d11tttxx.d11xx例17求函数的积分，所以有可将无理函数化为有理作变量代换，令,tx解ttd122.1ln22Cxx)1(dt112d2ttCtt1ln22一般的说，若积分不易计算可以作适当的变量代换，把原积分化为的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要将代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.xxfd)()(txtx'xfd)())(()(1xt.))((d)()()d()]([)())(()(0)(')()()()()(11CxΦxxfCtΦtt'tft'tftΦtxttxt'txxf则，的一个原函数，即是，若存在，且的反函数均连续，及连续，设定理5.3证由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有xttΦxΦxdddd))((dd1这就说明了是的f(x)原函数.))((1xΦ)('1))('(ttf).())((xftf例18求.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112解tttxxtd21d112.1)1(3212CxxxCtt3322例19求.d13xxx.1ln632663Cxxxxtttd163，于是有，得，得令txxtxttd6d566解txxxtttd6d12353ttttd)1116(2Ctttt1ln663223tttd11)16(3第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行.d)())((d)(0)()()(.1tt'tfxxft'ttx，则且有连续的导数又单调，要求选择适当的变量代换换元.)(d)())(()(d)())((.2CtΦtt'tftΦxx'xf，即原函数后求出过适当的换元，直至最或通过恒等变形或再经，可以直接换元后的不定积分积分.))(()(d)())(()()()()(.31111CxΦCtΦxxfxΦxtΦxtxttx，即的函数变量中，还原为原代回求出的原函数，并把解出其反函数由还原).0(d22axxa，例20求ttattataxxadcosdcoscosd2222解).2π2π(xcossin1sindcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，设）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta并有，则，因为,arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d22222.cos,cos2222axataxat＝斜边邻边直接写出：角形也可由图所示的直角三上面axtax220).(d22axax，例21求ttataxaxdseccos1d1222解，＝于是令tataataxataxcos1sec1tan11,tan22222，ttaxdsecd2.tanseclndsecCtttt，邻边斜边可得，利用图所示三角形，根据aaxtaxt22sectan).ln(lnlnd112212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22axt0).(d122axax，例22求，令sectax解，，于是tttaxtaataaxdtansecdtan1sec1122222dsec=ttdtantansec=d22ttattaaxx.|tansec|ln=Ctt，邻边对边得利用图所示三角形，易根据aaxtaxt22tan,sec).ln(lnlnd112212222aCCCxaxCaaxaxxax其中ax22axt例20—例22中的解题方法称为