第28讲-圆的基本性质

湖北世纪华章文化传播有限公司第六单元圆第28讲圆的基本性质数学考点解读圆的有关概念及性质1．圆的有关概念：定义定义1在同一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆定义2圆是所有到定点的距离等于①的点的集合．定长弦、直径连接圆上任意两点的②叫做弦．经过③的弦叫做直径，直径是圆中最④的弦．弧圆上任意两点间的部分叫做⑤，弧有优弧、劣弧、半圆之分．圆心角顶点在⑥，两边都与圆相交的角．圆周角顶点在⑦，两边都与圆⑧的角．等圆、等弧能够⑨的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做⑩线段圆心长弧圆心圆上相交重合等弧图形示例(1)图中的弦有；直径有；(2)图中的弧有，其中优弧有，劣弧有，半圆有；(3)图中的圆心角有；(4)图中的圆周角有.AB，ACABAC︵，BC︵，AB︵，ABC︵，ACB︵，BAC︵BAC︵，ABC︵AC︵，BC︵AB︵，ACB︵∠AOC，∠BOC∠BAC2.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线或所在的直线；圆是中心对称图形，其对称中心为．圆心直径圆心1．以下说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④长度相等的两弧是等弧；⑤面积相等的两个圆是等圆；⑥弧是半圆，半圆是弧；⑦半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的有．①②④⑥垂径定理及其推论文字叙述定理垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条.推论平分弦(不是直径)的直径于弦，并且弦所对的两条弧.平分弧垂直平分图形示例AB为⊙O的直径，AB与CD相交于点E.若AB⊥CD，则CEDE＝CD，AC︵AD︵，BC︵BD︵；若CE＝DE，则ABCD，BC︵BD︵，AC︵AD︵.＝12＝＝⊥＝＝【易错提示】由于圆内两条平行弦可以在圆心的同侧或异侧，故若题干中并未给出两条平行弦的位置，要求圆中两条平行弦间的距离时，就要分情况讨论，利用垂径定理进行计算．如图1，过点O作OE⊥AB，并反向延长OE交CD于点F.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OBE和Rt△OFD中分别求OE，OF，d＝OE＋OF.类比图1，得图2中d＝OF－OE.图1图22．如图，⊙O的弦AB＝8，点M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于．53．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是AC︵的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8cm，DE＝2cm，则OD的长为．3cm4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论：①CM＝DM；②CB︵＝DB︵；③∠ACD＝∠ADC；④OM＝BM.其中正确的有．①②③圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦．2．推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦；(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧．相等相等相等相等相等相等5．(1)如图1，∠AOB＝∠COD，下列结论：①AB＝CD；②AB︵＝CD︵；③△AOB≌△COD；④△AOB，△COD都是等边三角形，其中一定成立的是．①②③(2)如图2，在⊙O中，已知AB︵＝CD︵，则AC与BD的关系是()A．AC＝BDB．AC＜BDC．AC＞BDD．不确定A【方法指导】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．圆周角定理及其推论文字叙述几何语言表述几何图形圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的∠ABC＝∠AOC.一半12文字叙述几何语言表述几何图形推论1同弧或等弧所对的圆周角∠ABC＝．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是∠ACB＝AB是⊙O的直径.相等∠ADC直角直径90°【易错提示】由于圆中一条弦对应两段弧，故若题干中并未明确弦对应哪段弧，而要求圆中一条弦对应的圆周角的度数时，就要分情况讨论，图形如下：(∠ACB＝12β)(∠ACB＝180°－12β)6．如图，BC为直径，∠ABC＝35°，则∠AOC＝，∠ACB＝，∠D＝．70°55°55°7．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为()A．12个单位长度B．10个单位长度C．4个单位长度D．15个单位长度B圆内接多边形1．概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．性质：圆内接四边形的对角圆内接多边形互补3．拓展：圆内接四边形的外角等于其内对角．如图，∠C＝∠DAE.8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上．(1)若∠A＝70°，则∠C＝；(2)若∠ABC＝80°，则∠ADE＝.110°80°重难点选讲(2019·绵阳改编)如图1，AB是⊙O的直径，C为BD︵的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)连接AC，BC，如图2，求证：BC2＝BE·AB；(3)过点C作CH⊥AD，垂足为H，如图3，求证：DH＝BE；(4)若AD＝BE＝2，求BF的长．【思路点拨】(1)在△BFG和△CDG中，已知有对顶角相等，同弧所对的圆周角相等，根据C为BD︵的中点，可知CD︵＝BC︵，再结合垂径定理的推论可知CD︵＝BF︵，可得CD＝BF，即可证明两个三角形全等；(2)根据“AB是⊙O的直径”，建立“直角三角形斜边上的高”的模型，利用三角形相似，建立BC与BE和AB之间的数量关系；(3)通过证明△CDH与△CBE全等，利用全等三角形的性质，可得出DH＝BE；(4)先证明△ACH与△ACE全等，求出AE的长，再运用(2)中的结论，求出BC的长即可．【自主解答】解：(1)证明：∵C是BD︵的中点，∴CD︵＝BC︵.∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC︵＝BF︵.∴CD︵＝BF︵.∴CD＝BF.在△BFG和△CDG中，∠F＝∠CDG，∠FGB＝∠DGC，BF＝CD，∴△BFG≌△CDG(AAS)．(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CE⊥AB，∴∠ACB＝∠BEC＝90°.∵∠EBC＝∠CBA，∴△BEC∽△BCA.∴BCAB＝BEBC.∴BC2＝AB·BE.(3)证明：∵CD︵＝BC︵，∴∠HAC＝∠BAC，CD＝CB.∵CE⊥AB，CH⊥AH，∴CH＝CE.在Rt△CDH和Rt△CBE中，CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)．∴DH＝BE.(4)在Rt△AHC和Rt△AEC中，CH＝CE，AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)．∴AE＝AH.∵DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2＋2＝4.∴AB＝4＋2＝6.∴BC2＝AB·BE＝6×2＝12.∴BF＝BC＝23.方法指导1．圆的基本性质常见的作用：①结合“垂径定理”“圆心角、弦、弧之间的关系”及“圆周角定理”推导边或角相等，为证明三角形全等或相似提供条件；②利用“垂径定理”中创造的勾股定理模型以及①中提供的边角条件得到的三角形相似求圆中的线段长．2．常见的添辅助线方法有：①直径垂直于弦时，连接半径，构造垂径定理模型；②有直径，连接弦，构造圆周角定理模型．另外“万能解题模型(五)”三角形相似的基本模型在圆中出现较多，一般都是由圆的基本性质推导的．