同济六版高等数学(下)知识点整理

-1-第八章1、向量在轴上的投影：性质：cos)(aau（即Prjucosaa），其中为向量a与u轴的夹角；uuubaba)()()(（即Prju)(baPrjua+Prjub）；uuaa)()(（即Prju)(aPrjua）.2、两个向量的向量积：设kajaiaazyx，kbjbibbzyx，则baxxbaiyybajzzbak=11)1(yybazzbai+21)1(xxbazzbaj+31)1(xxbayybak=kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(注：abba3、二次曲面（1）椭圆锥面：22222zbyax；（2）椭圆抛物面：zbyax2222；（旋转抛物面：zayx222（把把xOz面上的抛物线zax22绕z轴旋转））（3）椭球面：1222222czbyax；（旋转椭球面：122222czayx（把xOz面上的椭圆12222czax绕z轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222czbyax；（旋转单叶双曲面：122222czayx（把xOz面上的双曲线12222czax绕z轴旋转））-2-（5）双叶双曲面：1222222czbyax；（旋转双叶双曲面：122222czyax（把xOy面上的双曲线12222czax绕x轴旋转））（6）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222；（7）椭圆柱面：12222byax；双曲柱面：12222byax；抛物柱面：ayx24、平面方程（1）平面的点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA，其中),,(0000zyxM是平面上一点，),,(CBAn为平面的一个法向量.（2）平面的一般方程：0DCzByAx，其中),,(CBAn为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(CBAn若D=0，则平面过原点；若轴，则平面平行于轴则平面过xDxDA0,0,0若面，则平面平行于面，则平面表示，xOyDxOyDBA000（3）平面的截距式方程：1czbyax，其中cba,,分别叫做平面在zyx,,轴上的截距.5、两平面的夹角：222222212121212121cosCBACBACCBBAA特殊：0212121CCBBAA两平面互相垂直212121CCBBAA两平面互相平行或重合6、点),,000zyxP（到平面0DCzByAx的距离公式：222000CBADCzByAxd-3-7、空间直线方程（1）空间直线的一般方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA（2）空间直线的对称式（点向式）方程：pzznyymxx000，其中),,(pnms为直线的一个方向向量，),,(000zyxM为直线上一点（3）空间直线的参数方程：ptzzntyymtxx0008、两直线的夹角：222222212121212121cospnmpnmppnnmm特殊：0212121ppnnmm两直线互相垂直212121ppnnmm两直线互相平行或重合9、直线与平面的夹角：222222sinpnmCBACpBnAm特殊：pCnBmA直线与平面垂直直线与平面平行或在平面内：0CpBnAm10、平面束的方程：设直线L由方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA所确定，其中222111,,,,CBACBA与不成比例，则平面0)(22221111DzCyBxADzCyBxA为通过直线L的所有平面（不包含平面02222DzCyBxA）-4-第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指),(yxP以任何方式趋于),(000yxP时，),(yxf都无限接近于A，因此当),(yxP以不同方式趋于),(000yxP时，),(yxf趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求xf时，只要把其他量),,(zy看作常量而对x求导数；求yf时，只要把其他量),,(zx看作常量而对y求导数；注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）xz为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数),(yxfz在点),(yx可微分，则该函数在点),(yx的偏导数xz、yz必定存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为dyyzdxxzdz5、若函数),(yxfz的偏导数xz、yz在点),(yx连续，则函数在该点可微分6、),(yxf连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(yxf不一定连续；),(yxf连续,不一定可微，但可微,),(yxf一定连续；可微,偏导数一定存在，偏导数存在,),(yxf不一定可微；可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续,),(yxf一定可微7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在点t可导，且有dtdvvzdtduuzdtdz（2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x及对y的偏导数，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导-5-数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在点),(yx的两个偏导数都存在，且xvvzxuuzxz；yvvzyuuzyz（3）其他情形：若函数),(yxu在点),(yx具有对x及对y的偏导数，函数)(yv在点y可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),,([yyxfz在点),(yx的两个偏导数都存在，且xuuzxz；yvvzyuuzyz8、隐函数求导公式：（1）函数),(yxF：yxFFdxdy（2）函数),,(zyxF：zxFFxz，zyFFyz9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线的参数方程为),(),(),(tztytx],[t),,(000zyxM为曲线上一点假定上式的三个函数都在],[上可导，且三个导数不同时为零则向量T))('),('),('()('0000ttttf为曲线在点M处的一个切向量，曲线在点M处的切线方程为：)(')(')('000000tzztyytxx，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000zztyytxxt如果空间曲线的方程以),(),(xzxy的形式给出，则在点M处的切线方程为：)(')('100000xzzxyyxx，法平面方程为：0))(('))((')(00000zzxyyxxx-6-如果空间曲线的方程以,0),,(,0),,(zyxGzyxF的形式给出，则在点M处的切线方程为：MyyxxMxxzzMzzyyGFGFzzGFGFyyGFGFxx000法平面方程为：0)()()(000zzFFGFyyGFGFxxGFGFyyxxMxxzzMzzyy10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(zyxF，),,(000zyxM为曲面上一点，则曲面在点M处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx，法线方程为：),,(),,(),,(0000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxozoyx11、方向导数：若函数),(yxf在点),(000yxP可微，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且cos),(cos),(000oyxyxfyxflf，其中cos,cos是方向l的方向余弦12、梯度：jyxfiyxfyx),(),(0000称为函数),(yxf在点),(000yxP的梯度，记作),(),(000yxfyxgradfo或，即),(),(000yxfyxgradfo=jyxfiyxfyox),(),(00013、设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则0),(,0),(0000yxfyxfyx14、设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又0),(,0),(000yxfyxfyox，令CyxfByxfAyxfyyxyoxx),(,),(,),(00000，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；-7-（3）02BAC时可能有极值，也有可能没有极值15、具有二阶连续偏导数的函数),(yxfz的极值求法：第一步：解方程组0),(,0),(yxfyxfyx，求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值BA,和C；第三步：定出2BAC的符号，按14的结论判定),(00yxf是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求．．．．．．．．具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点．也要考虑．．．．16、拉格朗日乘数法：要找函数),(yxfz在附加条件0),(yx下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxL，其中为参数.求其对x及y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(yx联立起来：0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx，由这方程组解出yx,及，这样得到的),(yx就是函数),(yxf在附加条件0),(yx下的可能极值点-8-第十章1、二重积分的性质性质1：设、为常数，则DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([.性质2：如果闭区域D被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在D上，1),(yxf，为D的面积，则DDdd1性质4：如果在D上，),,(),(yxyxf则有：DDdyxdyxf.),(),((特殊地，由于,),(),(),(yxfyxfyxf则DDdyxfdyxf),(),(.性质5：设mM,分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有DMdyxfm),(.性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(yxf在闭区域D连续，是D的面积，则在D上至少存在一点),(,使得Dfdyxf),(),(.2、二重积分直角坐标的计算法：（1）若积分区域D可用不等式)()(21xyx，bxa（X型）来表示，其中)(1x、)(2x在区间],[ba上连续.则Dxxbadyyxfdxdyxf)()(21.),()