利用导数判断函数的单调性(理)

..3.2利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1.函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在这个区间内为减函数。（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果函数y=f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y0；如果函数y=f(x)在这个区间内为减函数。那么在这个区间内/y0。2.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：①确定函数()fx的定义域；②计算导数'()fx，令'()0fx，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根；③把函数()fx的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()fx的定义域分成若干个小区间；④确定'()fx在各个开区间内的符号，根据'()fx的符号判定函数()fx在每个相应小区间的增减性（若'()fx0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()fx0,则f(x)在相应区间内为减函数。）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f’(x)0（或f’(x)0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)fxfx或，x(,)ab恒成立，且f’(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f’(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)fxfx或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由'()0('()0)fxfx或，x(,)ab恒成立解出的参数的取值范围确定。2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0，解不等式得x的范围就是递增区间；③令f′(x)＜0，解不等式得x的范围，就是递减区间。3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。直击考点..考点一求不含参数的函数的单调区间考例1.求函数y=x2(1－x)3的单调区间.思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜52.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，52)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞52且x≠1.∵1x为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)其函数的大致图像如下图：125fx=x21-x3xOy锦囊妙计：本题中，有一个特殊之处，当x=1时,f’(1)=0,但在x=1邻近的左右两侧的导数值同号（均为负），因此该函数的一个单调递减区间是2,5，而12,5。举一反三：1.函数xxyln的单调递减区间是（）A．),(1eB．),(1eC．),0(1eD．),(e答案：C2.(05年广东高考题)函数32()31fxxx是减函数的区间为()（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)答案：D解析：22'36,360,02.yxxxxx令解得..考点二求含参数的函数的单调区间考例2．（06山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。解：由已知得函数()fx的定义域为(1,)，且'1()(1),1axfxax（1）当10a时，'()0,fx函数()fx在(1,)上单调递减，（2）当0a时，由'()0,fx解得1.xa'()fx、()fx随x的变化情况如下表x1(1,)a1a1(,)a'()fx—0+()fx极小值从上表可知当1(1,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(1,)a上单调递减.当1(,)xa时，'()0,fx函数()fx在1(,)a上单调递增.综上所述：当10a时，函数()fx在(1,)上单调递减.当0a时，函数()fx在1(1,)a上单调递减，函数()fx在1(,)a上单调递增.锦囊妙计:求含字母参数的函数的单调区间时要注意对字母参数进行分类讨论.举一反三：（06山东卷）设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.解：由已知得'()6(1)fxxxa，令'()0fx，解得120,1xxa.（Ⅰ）当1a时，'2()6fxx，()fx在(,)上单调递增当1a时，'()61fxxxa，'(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,1)a1a(1,)a..'()fx+00()fx极大值极小值从上表可知，函数()fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a时，函数()fx没有极值.当1a时，函数()fx在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a.考点三利用导数证明不等式考例3.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.思路分析：假设构造函数f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以得到证明.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x锦囊妙计：通过构造函数,利用导数判断出所构造的函数的单调性，再将x赋值,利用单调性证明一个不等式。这也是证明不等式的一个种方法.举一反三:1.已知x1，证明不等式x1n(1+x)思路分析：构造函数()ln(1)fxxx，利用导数知识讨论()fx的单调性,从而证得.()fx(0)f解：令()ln(1)fxxx，则1()111xfxxx，1,()0xfx，()fx在（1，)上为增函数,∴当x1时,f(x)f(1),即x-1n(1+x)1-1n20,∴x1n(1+x).2.证明不等式1(0)xexx　　提示:构造函数1xexf(x)=－－　,利用导数证明函数1xef(x)=－－x　是增函数。考点四利用导数讨论（求）函数中的参数的取值范围考例4．（06全国II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．..解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．举一反三：（06湖南卷）已知函数axaxxf313)(23.（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）若曲线)(xfy上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（Ⅰ）由题设知)2(363)(,02axaxxaxxfa.令axxxf2,00)(21得.当（i）a0时，若)0,(x，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,(a上是增函数；若)2,0(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,0(a上是减函数；..若),2(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间),2(a上是增函数；（ii）当a＜0时，若)2,(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,(a上是减函数；若)2,0(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,0(a上是减函数；若)0,2(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)0,2(a上是增函数；若),0(x，则0)(xf，所以)(xf在区间),0(上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(xfy上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数)(xfy在axx2,0处分别是取得极值af31)0(，134)2(2aaaf.因为线段AB与x轴有公共点，所以0)2()0(aff.即0)31)(134(2aaa.所以0)4)(3)(1(2aaaa.故0,0)4)(3)(1(aaaa且.解得－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].误区警示：例．已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d满足以下3个条件：①在(，0]上为增函数②在[0，2]上为减函数③f(2)=01）求c的值；2）求f(1)的范围。常见错误：由f(x)在[0，2]上为减函数，f(2)=0,得'(2)0f，导致b的范围缩小，进而导致求f(1)的范围出错。正解：①由条件①②知，x=0为y=f(x)的极值点又cbxxxf23)(2∴0)0(cf②由于c=0则f(x)=x3+bx2+d从而f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0d=-8-4b则f(1)=-3b-7由②知，304120)2(bbf∴f(1)≥(-3)×(-3)-7=2故f(1)≥2。紧扣考纲大演练一.单项选择题1.（原创题）函数lnyxxx的单调递减区间是A．2(,)eB．2(0,)eC．2(,)eD．2(,)e..答案：B3.已知函数xf,(Rx)上任一点(0x,0xf)处的切线斜率为k=20012xx，则该函数的单调递减区间为()A1B2C1和（12）D2答案：B4．设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图像如图，则导函数)('xf的图像可能是（C）5．已知函数)(()(xfxfxy其中的图象如右图所示))(的导函数是函数xf，下面四个图象中)(xfy的图象大致是（C）6．已知函数)(xfy，其导函数)(xfy的图象如右图，则)(xfy：A．在(-，0)上为减函数B．在x=0