微分方程模型1(基础知识)

2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训微分方程模型主讲人：徐世英当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。微分方程的实质：实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，是一个动态模型。作用：1、分析它的变化规律；2、预测它的未来形态；3、研究它的控制手段。与统计方法的区别：机理；事件发生的数量统计规律建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。--中央民族大学理学院--（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。--中央民族大学理学院--•根据函数及其变化率之间的关系确定函数常微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程求解常微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。--中央民族大学理学院--一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。ghv2通过解决此问题想到什么？例1流水问题BAhhh第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻的水面高度为th时的水面高度为tthh时间由水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。tsBhAs是水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。tsBhAtsBthAlimlimdtdsBdtdhAghABdtdh2初始条件Hh)(0可分离变量的方程。--中央民族大学理学院--第二步解方程：ghABdtdh2dtgABhdh2thHdtgABhdh02tgABHh222tgABHh22222tgABHh222tgABHh水面高度与时间的函数关系水流空所需时间为（令h=0）gHBAt2--中央民族大学理学院--例2：古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？c14c12背景年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。c14--中央民族大学理学院--宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的。从古至今，碳不断产生，同时其本身又在不断的放出射线而裂变为氮。大气中处于动态平衡状态，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。c14c12基本原理从星际空间射到地球的射线c14c14c14c14--中央民族大学理学院--•C14的蜕变规律•C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。•C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以求出来。通常假定其衰变速度与该时刻的存余量成正比。--中央民族大学理学院--裂变速率与剩余量成正比。λc14=1/8000设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0,由假设，初值问题的数学模型为：00xxxdtdx)(textx0)(已知：λc14=1/8000--中央民族大学理学院--解为规律：裂变速率与剩余量成正比。80000texx时06240当0x.xyrt22400062408000.ln求得此即所求死亡年数。1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的0.7757倍，采用该方法计算得该墓距离今天有2130年左右。通过历史文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在2100年前，两者符合得很好。--中央民族大学理学院--思考：如何求半衰期？2)(0xTxktextx0)(代入得21lnT由λc14=1/8000可得碳14的半衰期为5568年--中央民族大学理学院--思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质中C14的数量，可以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体的年龄？textx0)(ln2T1＝tTextx2ln0)(由：可得：)(ln2ln0txxTt即：由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.)()(txextxt0000xxx)()(--中央民族大学理学院--)()()0(0txxtxx)()0(ln2lntxxTt将上式代入，可得：这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体内C14的衰变速度和现在时刻t的衰变速度,就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代生物体中C14的衰变常数相同。)0(x)(tx--中央民族大学理学院--马王堆一号墓年代确定的第二种方法马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14的半衰期为5568年，这样，我们可以把sx/37.38)0(stx/78.29)(代入)()0(ln2lntxxTt203678.2937.38ln2ln5568t得年这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物活着的时候，它不断和外界进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比，根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法——放射性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。--中央民族大学理学院--例3范.梅格伦（VanMeegren）伪造名画案第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。Van.Meegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。--中央民族大学理学院--为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。--中央民族大学理学院--原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。设时刻的原子数为，则有t)(tNNdtdN为物质的衰变常数。初始条件00NNtt)()(00tteNtNNNtt001ln--中央民族大学理学院--NNtt001ln半衰期21lnT年5568T碳-14亿年45T铀-238年1600T镭-226年22T铅-210能测出或算出，只要知道就可算出)(,tN0N这正是问题的难处，下面是间接确定的方法。0N断代。--中央民族大学理学院--油画中的放射性物质白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的衰变正好等于镭衰变所补足的为止。--中央民族大学理学院--铀238镭226铅210钋210铅206亿年45T年1600T年22T天138T（无放射性）--中央民族大学理学院--假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。r--中央民族大学理学院--建模设时刻每克白铅中含铅210的数量为，t)(ty0y为制造时刻每克白铅中含铅210的数量。0t为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量00ytyrydtdy)(--中央民族大学理学院--变化的数学模型为：求解)()(][)(0001tttteyerty][)()()(1000tttteretyyrty),(,均可测出。可算出白铅中铅的衰变率，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。0y矿石中铀的最大含量可能2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。--中央民族大学理学院--测定结果与分析画名钋210衰变原子数镭226衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0--中央民族大学理学院--若第一幅画是真品，3000tt][)()()(1000tttteretyy][)(1300300erety222ln111502223002300lnee)(..1282058211150111500y每分钟每克个/98050每分钟每克个/30000铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。Emmaus的信徒们--中央民族大学理学院--此例的含义：1、微分方程模型的作用；2、模型假设与