公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。8和16的最大公因数（8）4和8的最大公因数（4）9和3的最大公因数（3）28和7的最大公因数（7）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（1）8和9的最大公因数是（1）99和98的最大公因数是（1）两个不同的质数5和7的最大公因数是（1）17和29的最大公因数是（1）11和19的最大公因数是（1）两个互质的合数4和9的最大公因数是（1）20和49的最大公因数（1）25和69的最大公因数是（1）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。18和48的最大公因数先用小数18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。3、短除法（一般情况）用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数1为止。然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。求16和24的最大公因数16和24的最大公因数2×2×2=8，可以表示为（16，24）=8。求12和20的最大公因数12和24的最大公因数2×2=4，可以表示为（12，20）=4。【知识点3】互质数互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两数互质的情况：1)1和任何自然数互质；2)相邻两个自然数互质：2和3、8和9……3)两个质数一定互质：5和7、19和29……4)两个合数可能是互质数：8和9、25和49……5)2和所有奇数互质：2和31、2和99……6)质数与比它小的合数互质：8和29、9和59……质数与互质数的区别：质数是对一个数来说，互质数是对两个数的关系来说的。练习一：说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最大公因数。5和118和94和88和109和628和75和820和25【知识点4】最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。【知识点5】最小公倍数的求法1、列举法先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它们的（最小公倍数）找6和8的最小公倍数。6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。3）两个数不是倍数和互质关系，大数翻倍法。案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。8和16的最小公倍数（16）4和8的最小公倍数（8）9和3的最小公倍数（9）28和7的最小公倍数（28）1624281224622312202610235两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。相邻两个自然数(0除外)2和3的最小公倍数是（6）8和9的最小公倍数是（72）99和98的最小公倍数是（9702）两个不同的质数5和7的最小公倍数是（35）17和29的最小公倍数是（493）11和19的最小公倍数是（209）两个互质的合数4和9的最小公倍数是（36）20和49的最小公倍数（980）25和69的最小公倍数是（1725）两个数不是倍数和互质关系，用大数翻倍法把较大的数翻倍（乘以2、3、4……）每次翻倍后看得到的积是不是另一个数的倍数，直到所得的积是另一个数的倍数为止。18和48的最小公倍数先用小数48×2=96，96不是18的倍数，48×3=144，144是18的倍数，那么18和48的最小公倍数是144。16和36的最小公倍数36×2=72，72不是16的倍数，36×3=108，108不是16的倍数，36×4=144，144是16的倍数，那么16和36的最小公倍数144。3、短除法（一般情况）用短除法求二个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数1为止。然后把最后所有的除数和商连乘，就得到了二个数最小公倍数。求16和24的最小公倍数16和24的最小公倍数2×2×2×2×3=48，可以表示为[16，24]=48。求12和20的最小公倍数12和24的最小公倍数2×2×3×5=60，可以表示为[12，20]=60练习二：（1）说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最小公倍数。5和118和94和88和109和628和75和820和25（2）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。16242812246223122026102352和83和86和156和94和108和10【知识点6】最大的公倍数两个数有没有最大的公倍数？为什么？因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的。因此，两个数没有最大的公倍数。如果给定一个范围，两个数的最大公倍数存在吗？在给定的范围内，两个数的最大公倍数是存在的。【知识点7】最大公因数与最小公倍数的应用1、兴趣小组有24个女生，32个男生现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？想：小组的个数在24之内，并且小组的个数是24和32的公因数，又问最多能分多少个小组，所以小组个数是24和32的最大公因数。（24，32）=824÷8=3（人）32÷8=4（人）答：最多可以分成8组；每组最多有3个女生，4个男生。2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？只能求出最小公倍数，最大公因数却要另考虑想：这包糖8个人正好分，10个人也正好分，说明这包糖的块数是8和10的公倍数，又问这包糖至少有多少块，所以要求的这包糖是8和10的最小公倍数。若是问这包糖有多少块？那只要是8和10的公倍数都符合要求，而8和10的公倍数有无数个，没有范围。[8，10]=40答：这包糖至少有40块。3、同学们参加文艺表演，人数在60—80之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。参加文艺表演的学生有多少人？想：分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完，说明表演的人数是3，4，6和8的公倍数，[3，4，6，8]=24，而人数又在给定范围．．．．60—80间，所以求的是在60—80间的3，4，6和8的最大公倍数，即48。答：参加文艺表演的学生有48人。由此可见，在一定范围内的需求最大公因数，没有范围的需求最小公倍数。给定范围的可求最大公倍数。