结构力学——结构的稳定计算

结构力学傅向荣第十五章结构的稳定计算1.两类稳定问题的基本概念薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课程只讨论静力稳定问题。例如图示刚架，当荷载达到临界值时，受微小干扰将失稳又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题刚性小球平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态结构平衡状态的分类根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类：•稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。•不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。•经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。根据受力状态稳定问题分类：1.完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定。分支点失稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化结构2.非完善体系受压杆有初曲率或受偏心荷载，为压弯联合受力状态非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷载反而减少），这类稳定现象称极值点稳定。极值点失稳失稳前后变形性质没有变化FPcrcr突跳失稳FPcrcr由受压变成受拉，系统产生翻转突跳失稳的力-位移关系示意图突跳失稳稳定问题的分析方法在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论：线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时的实验结果有较大偏差。非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响，其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复杂。由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正比，叠加原理适用。2.简单结构稳定分析1)稳定问题分析基本方法一：静力法通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静力法。在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠加原理不再适用。2-1-1)分析步骤设定约束所允许的可能失稳状态建立平衡方程用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）建立特征方程，也称稳定方程求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。2-1)分支点稳定静力法2-1-2）例一试用静力法分析图示结构，求临界荷载。06sinPaEIhFsinhB得由0AMsin6PahEIFahEIF6Pcr稳定方程06PaEIhFhB小挠度非零解为ahEIF6Pcr稳定方程得由0AM按静力法，线性与非线性理论所得分支点临界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使AB杆继续偏转（角增大），必须施加更大的荷载（增加）。而线性理论结果表明，不管转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚假的现象。PF小结例二完善体系如图所示，试按线性理论求临界荷载FPcr。已知：k1=k,k2=3k。设体系发生如下的变形取B’C’为隔离体，由MB’=0,得0)(1112PlykyyF)1(0)(2P1P1yFyFlk或再由整体平衡MA=0,得)2(0)2(221P1lykyFlk因为y1、y2不能全部为零，因此)3(022P1PP1lkFlkFFlk稳定方程将k1、k2代入（3）式，展开后得0)(352P2PklklFF由上式可求得：klFklF303.4697.02P1P因此klF697.0Pcr代回式（1）或（2）的失稳形态为22lEI224lEI2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的FPcr为22PcrlEIF224lEI求解的例子EI，lFPFPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？k1=？2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方法边界条件是什么？根据形常数lEIk311P,00kFyyxylxFPcrEI，l如何转换成弹性支承中心受压柱？k1=？边界条件是什么？FPcrEI，lEI，lEA=∞如何转换成弹性支承中心受压柱？k=？边界条件是什么？EI，lEI，lFPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？k1=？k2=？边界条件是什么？可见简单结构中受压杆件的稳定分析，主要是要将杆件简化为相应的弹性支撑的单杆问题。实际工程结构的稳定性分析复杂得多，一般进行计算机分析。稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态能量取极小值2-2)分支点稳定能量法2-2-1)刚性小球的稳定能量准则能量取极大值能量取驻值与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支点失稳问题中，临界状态的能量特征为：首先引入两个定义。定义：应变能Vε加外力（外荷载）势能VP为体系的总势能，记作V。2-2-2)弹性结构的稳定能量准则定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。体系总势能V取驻值。下面讨论由此特征确定临界荷载的方法——能量法。2-2-3)能量法分析步骤(1)设定一种满足位移约束条件的可能失稳变形状态（也称失稳构(位)形）；(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP，从而获得总势能V=Vε+VP；(3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析的特征方程；(4)由特征方程解得临界荷载。l例1.求图示有初偏离角体系的的临界荷载cos/hl)sin(lBx2-2-4)能量法举例sin0lBxBy可能失稳)cos(lhDyBysin)sin(3333NlhEIhEIFDx分析受力FN如何求?变形能V23Nεsin)sin(2321lhEIFVDx外力势能VP)cos(PPPlhFFVBy体系的总势能V=V+VP)cos(sin)sin(23P23lhFlhEIV如何计算?应变能等于外力功.根据定义可得由体系的总势能的驻值条件得：0)sin()cos(sin)sin(3P23lFlhEIV)sin(sin1)cos(33PlhEIF则：cos33PlhEIF如果=0：)cos(sin)sin(23P23lhFlhEIV)sin(sin1)cos(3)(3PEIlhFF令：To41)sin(sin1)cos(33PlhEIF0)(F31sin)sin(233233Pcrsin13)sin(sin1)cos(3lhEIlhEIF令：得：因此为求极值2132)sin1()cos(1EIlhF33Pcr23323Pcrsin13EIlhF设：跳转当按线性理论计算时，是微量，hhlcos0)(0ByDxBxBxllllhEIF3N30)(NPhFlF2P3hEIF线性理论计算结果比非线性理论计算结果大，因而是偏于危险的。To38不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是不利的。非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一结果与实际吻合。小结PF在线性理论（微小）前提下，是单调增加的，不存在极值点。非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确定。lEIyxlxay2cos1lxlay2sin2lxlay2cos422设：例2.求图示一端固定一端自由简支梁的临界荷载。满足位移约束条件变形能VllaEIxyEIV0324264d21外力势能VPlaFxyFFVPlPPP16d212202体系的总势能V=V+VPlaFlaEIVP166422324由体系的总势能的驻值条件得：08322P34alFlEIaV因为a0则：22Pcr4lEIF返回yEIM)(RPxlFyFM)(RPxlFyFyEI)(R2xlEIFyny则)(PR22xlFFnyny或EIFnP2记以图示柱为例，取隔离体列弯矩方程得特解通解)(sincosPRxlFFnxBnxAy利用边界条件：0,0yx解方程可得;0y0,ylx0PRlFFA0sincosnlBnlA0PRFFnBnlnltan稳定方程22Pcr19.20lEIEInF493.4nl返回可得0sin1cosPRPRnlFFnnllFF试总结中心压杆稳定分析的要点