21.4-二次函数的应用(3)

21.4二次函数的应用第3课时利用二次函数的最值解决实际问题(3)----与距离、几何有关的问题某种采用快速制动的飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝40t－t2，飞机着陆后滑行的最远距离是()A．400mB．300mC．1200mD．800mA基础自主学习例4、行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”，为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：典型例题解析制动时车速/km.𝒉−𝟏01020304050制动距离/m00.31.02.13.65.5有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/h）行驶导致了交通事故？解：以制动时车速的数据为横坐标，制动距离的数据为纵坐标，建立直角坐标系：（图如下）观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，制动距离与制动时车速之间的关系可以近似的以二次函数来模拟，即设：𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐在已知数据中任选择三组，如取（0，0），（10，0.3），（20，1.0），分别代入所设函数的表达式，得𝑐=0100𝑎+10𝑏+𝑐=0.3400𝑎+20𝑏+𝑐=1.0解方程组得𝑎=0.002𝑏=0.01𝑐=0即所求函数的表达式为：𝑦=0.002𝑥2+0.01𝑥(𝑥≥0)把y=46.5代入上式得：46.5=0.002𝑥2+0.01𝑥解得：𝑥1=150，𝑥2=−155答：制动时车速为150km/h(110km/h)，即在事故发生时，该汽车超速例：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(－1，1)，点N的坐标为(3，5)，点P为抛物线y＝x2－3x＋2上的一个动点，当PM＋PN之长最短时，点P的坐标是()A．(0，2)或(4，6)B．(4，6)C．(0，2)D．无法确定C[解析]连接MN，与抛物线交于P点，根据两点之间线段最短得到此时PM＋PN最短，设直线MN的关系式为y＝kx＋b，求出直线MN的关系式，与抛物线关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，此时可以得到两组x与y的值，只有位于线段MN上的点，才符合要求，因而由此可确定P点的坐标．典型例题解析练习．如图21－4－7，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为()A．6B．4C．3D．1C第2课时建立二次函数的模型解决实际问题例:如图21－4－12，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于两点A，B，其顶点为点C.(1)对于任意实数m，点M(m，－2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证：△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．典型例题解析第2课时建立二次函数的模型解决实际问题[解析](1)设点M(m，－2)在抛物线y＝x2－4x＋3上，则－2＝m2－4m＋3，即m2－4m＋5＝0，此方程无实数解，从而点M(m，－2)不在该抛物线上．(2)先求得点A，B，C的坐标，从而得到AC，BC，AB的长，再说明△ABC是等腰直角三角形．(3)设存在这样的点P，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，则连接点P与点C的线段应被x轴平分，得到点P的纵坐标是1，由点P在抛物线y＝x2－4x＋3上，将点P的纵坐标代入可得点P的坐标．第2课时建立二次函数的模型解决实际问题解：(1)假如点M(m，－2)在该抛物线上，则－2＝m2－4m＋3，即m2－4m＋5＝0，由于Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，此方程无实数解，所以点M(m，－2)不会在该抛物线上．(2)证明：当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，由于点A在点B的左侧，∴A点坐标为(1，0)，B点坐标为(3，0)．y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点C的坐标是(2，－1)，得AC＝2，BC＝2，AB＝2，由勾股定理，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．第2课时建立二次函数的模型解决实际问题(3)存在这样的点P.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，∴点P的纵坐标是1.∵点P在抛物线y＝x2－4x＋3上，∴当y＝1时，即x2－4x＋3＝1，解得x1＝2－2，x2＝2＋2，∴点P的坐标是(2－2，1)或(2＋2，1)．[反思]阅读下面问题的解答过程，完成填空：某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价出售，每天可销售6台，假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可以多销售3x台．求销售该品牌彩电每天获得的最大利润y是多少元？解：由题意，得y＝(3900－3000－100x)(6＋3x)＝－300x2＋2100x＋5400.∵x＝－b2a＝3.5，而x为正整数，∴当x______时，y有最大值，且最大值为______元．＝3或49000