2018考研数学冲刺模拟卷-答案与解析(数学一)

Borntowin2018考研数学冲刺模拟卷（数学一）答案与解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数21cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（）(A)14ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab【答案】A.【解析】2220011cos14limlim,()4xxxxfxaxaxa在0x处连续11.44baba选A.（2）设函数()fx可导，且2'()()0fxfx，则（）（A）(1)(1)ff（B）(1)(1)ff（C）(1)(1)ff（D）(1)(1)ff【答案】A.【解析】3332()(1)(1)()()0,(1)(1)333fxfffxfxff，所以选A。（3）设函数22(,,)fxyzxyz，单位向量1{1,2,2}3n，则(1,2,0)fn________.（A）12（B）6（C）4（D）2【答案】D.【解析】(1,2,0)(1,2,0)122{4,1,0}{4,1,0}{,,}2.333fgradfgradfnn选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vvt（单位：/ms），虚线表示乙的速度曲线2()vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）Borntowin0510152030()ts(/)vms1020325（A）010t（B）01520t（C）025t（D）025t【答案】D.【解析】从0到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要超过甲，则0210(t)v(t)10tvdt，当025t时满足，故选D.（5）设A为mn´阶矩阵，且()rAmn=，则下列结论正确的是（A）A的任意m阶子式都不等于零（B）A的任意m个列向量线性无关（C）方程组AXb=一定有无穷多解（D）矩阵A经过初等行变换可化为()mEO【答案】C.【解析】对于选项C，()()()()=min,mrArAmnmrAmn＃=?所以选项C正确,对于选项A和B，r(A)=m，由秩的定义可得，存在一个m阶行列式不为零，从而m阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A和B不正确对于选项D，矩阵A经过初等行变换和列变换才可化为()mEO，所以选项D不正确（6）设()()()1122331,0,2,,0,2,1,,1,2,3,TTTcccaaa===，()41,0,1,0Ta=,其中()1,2,3ici=为任意实数，则（A）1234,,,aaaa必线性相关（B）1234,,,aaaa必线性无关（C）123,,aaa必线性相关（D）234,,aaa必线性无关【答案】D.Borntowin【解析】()1234312101101100000001cccaaaa骣琪琪琪®琪--琪琪-桫经初等行变换所以()12344raaaa£，从而选项A和B均不正确()1233raaa£，从而选项C不正确利用排除法可得正确答案为D对于选项D，()234110011001000aaa骣琪琪琪®琪琪琪桫经初等行变换，从而可得()2343raaa==向量的个数，所以234,,aaa必线性无关（7）设二维随机变量(),XY的联合分布函数为(),Fxy，边缘分布函数分别为()XFx和()YFy，则{},PXxYy=（A）()()1XYFxFy-（B）()()11XYFxFy轾轾--臌臌（C）()()()2,XYFxFyFxy--+（D）()()()1,XYFxFyFxy--+【答案】D.【解析】设{}{},AXxBYy=??，则(){}(){},,XYFxPXxFyPYy=??(){},,FxyPXxYy=＃所以{}()()()()()()()()(),111,XYPXxYyPABPABPABPAPBPABFxFyFxy==+=-+=--+=--+所以正确答案为D（8）设总体X服从正态分布2(0,)N，1X，…，nX是取自总体X的简单随机Borntowin样本，其均值、方差分别为X，2S．则（A）)11(22nFSX，～（B）)11()1(22nFSXn，～（C）)11(22nFSXn，～（D）)11()1(22nFSXn，～【答案】C.【解析】()()2222200,0,11XnXXNNnnnXnXssscss骣-琪?琪桫骣琪?琪桫～～～而()()22211nSncs--～，且X与2S相互独立所以()()()()()2222222221111,111nXnSnXnFnnSSnscss--=---～～所以正确答案为C.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)函数()ln(12)fxx的麦克劳林公式中nx项的系数为__________【答案】2(1)!!nnn.【解析】因为()()2(1)!()(0)2(1)!(12)nnnnnnfxfnx，故nx项的系数为2(1)!!nnn。(10)微分方程'''240yyy的通解为y_________Borntowin【答案】12(cos3sin3)xyecxcx，（12,cc为任意常数）.【解析】齐次特征方程为21,224013i故通解为12(cos3sin3)xecxcx，（12,cc为任意常数）(11)已知22422aydxxydyxy为某函数的全微分，则a__________.【答案】1a.【解析】由题意可得，25252422424242(2)(2)PaxyayQxyyyxyxxy，故1a.(12)幂级数112(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()Sx________【答案】222(1)xxx.【解析】''221112222(1)(1)1(1)nnnnnnxxxnxxxx（13）设,ab为四维非零的正交向量，且TAab=，则A的所有特征值为.【答案】0,0,0,0【解析】设矩阵A的特征值为l，则2A的特征值为2l由,ab为四维非零的正交向量0Tba?从而()()()20TTTTAabababab===所以2A的特征值20l=ÞA的特征值为0l=所以4阶矩阵A的4个特征值均为0.（14）设二维随机变量(),XY服从正态分布()22,;,;0Nmmss，则()2cov,XXY=.【答案】()222ssm+【解析】Borntowin()()()()()()2222,,;,;0,,,,0XYXYNEXEYDXDYmmssmmssr?====～所以0XYXYr=?与相互独立22XYÞ与相互独立，2XY与相互独立()()()2222EXDXEXsm轾=+=+臌同理()222EYsm=+从而()()()()()()()()()()()()2222222222222222cov,=XXYEXYEXEXYEXEYEXEXEYsmmsmssm=--=+-+=+三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设函数fu在0,内具有二阶导数，且22zfxy满足等式22222222112zzzzxyzxyxyxyxy，若00,01,ff求函数fu的表达式.【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了22222222;zxzyfxyfxyxyxyxy2222222222222222xxyxyzxfxyfxyxxyxy222222322222xyfxyfxyxyxy同理22222223222222zyxfxyfxyyxyxyBorntowin代入22222222112zzzzxyzxyxyxyxy，得222222()2()fxyfxyfxy，即()()2()fufufu.则对应的特征方程为220rr，121,2rr，故212()xxfuCeCe.由00,01,ff得1211,33CC，即211()33xxfuee（16）（本题满分10分）求21lnlnlimnnkknknn【答案】14.【解析】原式=211122102000111111limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214nnkkkxxxdxxdxxxdxnnx.（17）（本题满分10分）设函数fx连续，且2013arccot2xtfxtdtx.已知21f，求32fxdx的值.【解析】令3uxt，则3txu，所以dtdu代入2013arccot2xtfxtdtx得230323(3)(3)xxxxxtfxtdtxufuduxufudu3322213arccot2xxxxxfuduufudux将等式3322213arccot2xxxxxfuduufudux两边对x求导得34233[3(3)2(2)][3(3)32(2)2]1xxxfuduxfxfxxfxxfxx化简得34232(2)1xxxfuduxfxx令1x得，32132(2)11fuduf，化简得3212fudu（18）（本题满分10分）设()yfx是区间[0,1]上的任一非负连续函数，()fx在区间(0,1)Borntowin内可导,且2()(),fxfxx试证明在(0,1)内，1()()0xxfxftdt存在唯一实根.【解析】(1)要证0(0,1)x,使0100()()xxfxfxdx；令1()()()xxxfxftdt,要证0(0,1)x,使0()0x.可以对()x的原函数0()()xxtdt使用罗尔定理：(0)0,11110001111000(1)()()(())()()()0,xxxxxdxxfxdxftdtdxxfxdxxftdtxfxdx分部又由()fx在[0,1]连续()x在[0,1]连续,()x在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x,使00()()0xx.(2)由()()()()()2()0xxfxfxfxxfxfx,知()x在(0,1)内单调增,故(1)中的0x是唯一的.（19）（本题满分10分）计算曲面积分1dSz，其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部。【答案】2lnaah【解析】由题意可知，22222221,{(,)}DadSdxdyDxyxyahzaxy故222222220012lnahDaradSdxdyaddrazaxyarh.（20）（本题满分11分）设1234,,,,aaaab均为四维列向量，()1234,,,Aaaaa=，非齐次线性方程组AXb=的通解为()()1,2,0,32,3,1,5TTk-+-(Ⅰ)求