2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

Borntowin2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析——跨考教育数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当0x时，若tankxxx与是同阶无穷小，则k（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【答案】C【解析】33311tan(())~,33xxxxxoxx故3.k（2）设函数||,0,(),0,xxxfxxlnxx则0x是()fx的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案】B【解析】.00()(0)limlim0,0xxxxfxfxx00()(0)lnlimlim,0xxfxfxxxx故()fx不可导.当0x时，()0;fx当0x时，()0.fx故()fx在0x处取极大值.故选（B）.（3）设{}nu是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mnnun.B.11(1)mnnnu.C.11(1)mnnnuu.D.2211()mnnnuu【答案】C【解析】举反例：（A）1nnun（B）1nnun（C）1nunBorntowin（4）设函数2(,)xQxyy.如果对上半平面(0)y内的任意有向光滑封闭曲线C都有(,)(,)0CPxydxQxydy，那么函数(,)Pxy可取为A.23xyy.B.231xyy.C.11xy.D.1xy【答案】D【解析】,QPxy则21,Pyy又上半平面含1,x有零，故（C）错，选（D）.（5）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE,且||4A,则二次型TxAx的规范形为A.222123yyy.B.222123yyy.C.222123yyy.D.222123yyy【答案】C【解析】22AAE,设A的特征值为22(2)(1)021或4AA的特征值为1232,12,1qpTXAx的规范形为222123yyy（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程Borntowini123(i=1,2,3)iiiaxayazd组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,AA，则A．()2,r()3rAAB.()2,r()2rAAC.()1,r()2rAAD.()1,r()1rAA【答案】C【解析】（1）令123,1,2,3iiiiaxayazdii由于123,,无公共交点，则()()rArA，故B、D排除（2）由（1）分析可知，()2rA，且0A，则1()2rA以1和2为例，由于11121312122232axayazdaxayazd的公共解为一条直线则11121321222331aaaraaa即1112132122232aaaraaa因此111213212223313233()2.()3aaarAraaarAaaa综上A正确Borntowin（7）设,AB为随机事件，则()()PAPB的充分必要条件是A.()()()PABPAPBB.()()()PABPAPBC.()()PABPBAD.()()PABPAB【答案】C【解析】()0APAB选项,故A排除ABB选项、独立，故B排除()()()()PAPABPBPABC选项()()PAPB而，故C正确()()1()PABPABPABD选项1()()()PAPBPAB1()()PAPB故D排除（8）设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布2(,)N.则1PXYA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与2,都有关.D.与2,都无关.【答案】A【解析】,XY独立，服从正态分布，则2(,2)zxyN11(1)(11)()222ZPXYPZP12()12，故A正确Borntowin二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设函数()fu可导，(sinsin)zfyxxy，则11coscoszzxxyy________【答案】coscosyxxy【解析】'(sinsin)(cos)zfyxxyx'(sinsin)coszfyxyxy故11'(sinsin)'(sinsin)coscoscoscoscoscoszzyxfyxfyxxxyyxyyxxy(10)微分方程22220yyy满足条件(0)1y的特解y________【答案】32xye【解析】22'2yyy2212ydydxy故2ln(2)yxC.由(0)1y得ln3C则2ln(2)ln3yx.故2ln(2)ln3yxee即223xye故32xye(11)幂级数0(1)(2)!nnnxn在(0,)内的和函数()Sx________Borntowin【答案】cosx【解析】20(1)()cos(2)!nnnxxn(12)设为曲面22244(0)xyzz的上侧，则2244zxzdxdy________【答案】323【解析】22'22200444324sin3DxyDxzdxdyydxdyydxdydrdr（13）设123(,,)A为三阶矩阵，若12,线性无关，且3122。则线性方程组0Ax的通解为________【答案】1,2,1Txk,kR【解析】12,dd无关，123(,,)Addd()2rA3122ddd()2rA0Ax的基础解系中有()321nrA个解向量.12320ddd(1,2,1)T为0Ax的解为基础解系.通解为(1,2,1),TxkkRBorntowin（14）设随机变量X的概率密度为,02,()20,xxfx其他，，()Fx为X的分布函数，EX为x的数学期望，则()1PFXEX________【答案】23【解析】,02()20,xxfx其他22320014()()|263xExxfxdxdxx000()()02212xxxtFxftdtdtxx22231(()()1)(())3122()()43233PFxExPFxxxPPxdx三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设函数()yx是微分方程22'xyxye满足条件(0)0y的特解.（1）求()yx（2）求曲线()yyx的凹凸区间及拐点Borntowin【答案】（1）22xyxxe（2）,3,0,3函数yx是凸的，在3,0，3,函数yx是凹的,33223,3,0,0,3,3ee为拐点【解析】（1）2222222222xxdxxdxxxxxyxeeedxceeedxcexc由00y，得0c，故22xyxxe（2）22222222222222322212123xxxxxxxyxexexxeyxxexexxxxexxe列表y,333,000,333,y-0+0-0+y凸凹凸凹故在,3,0,3函数yx是凸的，在3,0，3,函数yx是凹的，由332233,33,00yeyey，由拐点判别定理得33223,3,0,0,3,3ee为拐点。Borntowin（16）（本题满分10分）设,ab为实数，函数222zaxby在点（3，4）处的方向导数中，沿方向34lij的方向导数最大，最大值为10.（1）求,ab；（2）求曲面222(0)zaxbyz的面积；【答案】（1）1ab（2）133【解析】（1）由题意可知3,43,42,26,8gradaxbyab得6834ab，得ab，且方向导数最大为22366410ab（与梯度方向相同，方向导数最大），故1ab.222Zxy（2）2222222002220232201144:2141214148214432613271663DSdsxydxdyDxydrrdrrdrr（17）（本题满分10分）求曲线sin(0)yexxx与x轴之间图形的面积【答案】【解析】所求面积0sindxxeAx。Borntowin11211212121lim21lim21111lim21sincos211limsin1limsin1101011110010eeeeeeeexxedxxedxxennkknnkkknnkkkkkknkknkxknnkkkxknx（18）（本题满分10分）设1201(1,2,3...)nnaxxdxn（1）证明：na单调递减，且21.(2,3...)2nnnaann（2）1nnnalima【答案】（1）212,3,2nnnaann（2）12lim2nnnnaan为奇为偶【解析】1201nnaxxdx（1）令sinxt，则Borntowin22022022200cos1sin131122221321122323112211223nnnnnasinttdtsinttdtsintdtsintdtnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为偶为奇为偶为奇n为奇数，112312111231223nnnnnannnannnn；n为偶数，112231211123123nnnnnannnannnn；故na单调减少。n为偶数时，21111213222nnnannnnannn；n为奇数时，2112123132223nnnannnnannn；故212,3,2nnnaann（2）Borntowin1112lim312lim22lim3122lim22limnnnnnnnnnnnnnnnnaannnnnnnanaana为奇为偶为奇为偶为偶为奇（19）（本题满分10分）设是由锥面22