2016年数学全国高考1卷试题及答案

2016年数学全国高考1卷试题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效(gaosan.com).4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】D【答案】B【解析】【答案】C【解析】【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，小明到达时间总长度为40，等车不超过10分钟，符合题意的是是7:50-8:00，和8:20-8:30，故所求概率为，选B.（5）已知方程x2m2+n–y23m2–n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3)（B）(–1,3)（C）(0,3)（D）(0,3)【答案】A（6）如图，某几何体的三视图是三个半径(gaosan.com)相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】12.已知函数()sin()(0),24fxx+x，为()fx的零点学.科网，4x为()yfx图像的对称轴，且()fx在51836，单调，则的最大值为（A）11（B）9（C）7（D）5第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.(14)5(2)xx的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为。（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。学.科网该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分为12分）ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC的面积为332，求ABC的周长．（18）（本题满分为12分）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．（I）证明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5PXn，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？20.（本小题满分12分）设圆222150xyx的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1，x2是的两个零点，证明：+x22.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=cosθ.（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为，学.科网其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=∣x+1∣-∣2x-3∣.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。2016数学高考卷1解析单选题1.试题分析：因为，所以，故选D。2.因为所以故选B.3.试题分析：由已知,所以故选C.4.试题分析：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机落在途中线段中，而当他的到达时间线段或时，才能办证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率，故选B.5.试题分析：表示双曲线，则∴，由双曲线性质知：，其中是半焦距∴焦距,解得，∴，故选A.6.试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．7.试题分析：函数在上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数.故选D.8.试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．9.试题分析：当时，，不满足；，不满足；，满足；输出，则输出的的值满足，故选C.10.试题解析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，,即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.11.试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角，延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.12.试题分析：因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，由此的最大值为9.故选B.填空题13.试题分析：由，得，所以，解得.14.试题分析：的展开式通项为，令得，所以的系数是.15.试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.16.试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么①目标函数.二元一次不等式组①等价于②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.简答题17.试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由正弦定理得：∵，∴∴，∵∴18.试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由余弦定理得：∴∴∴周长为19.试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：由已知可得,,所以平面．又平面,故平面平面．20.试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：过作,垂足为,由（I）知平面．以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系．由（I）知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,．由已知,,所以平面．又平面平面,故,．由,可得平面,所以为二面角的平面角,．从而可得．所以,,,．设是平面的法向量,则,即,所以可取．设是平面的法向量,则,同理可取．则．故二面角的余弦值为．21.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件为第一台机器3年内换掉个零件记事件为第二台机器3年内换掉个零件由题知，设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22所以的分布列为22.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由（Ⅰ）知,,故的最小值为19.23.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时,.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.24.试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.25.试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：当与轴不垂直时,设的方程为,,.由得.则,.所以.[来源:学科网ZXXK]过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.26.试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：（Ⅰ）．（i）设,则,只有一个零点．（ii）设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则,故存在两个零点．（iii）设,由得或．若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．27.试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知得：，不难发现，，故可整理得：设，则那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：设，则，故单调递增，有．因此，对于任意的，．由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，，在上单调递增，因此：整理得：．28.试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．29.试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同理可证,．所以．30.试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：（均为参数）∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为∵∴即为