无穷积分的性质与收敛判别法

§2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法一无穷积分的性质由定义知道，无穷积分dxxfa收敛与否，取决于函数F（u）=dxxfua在u→+∞时是否存在极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理11.1无穷积分dxxfa收敛的充要条件是：任给＞0，存在G≥a，只要u1、u2＞G，便有2121uuuaaufxdxfxdxfxdx。证明:由于limaufxdxdxxfua=(),limuFu所以dxxfa收敛()limuFu存在0,G≥a，只要u1、u2＞G，便有221121|()()|.uuuuaafxdxfxdxfxdxFuFu此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质1(线性性质)若dxxfa1与dxxfa2都收敛，k1、k2为任意常数，则dxxfkxfka2211也收敛，且dxxfkxfka2211=dxxfkdxxfkaa2211。（1）证明:记111limuaauJfxdxfxdx,222limuaauJfxdxfxdx,则dxxfkxfka2211=1122limuaukfxkfxdx=1122[()()]limuuaaukfxdxkfxdx=1122()()limlimuuaauukfxdxkfxdx=1122kJkJ=1122()().aakfxdxkfxdx□性质2若f在任何有限区间[a，u]上可积，a＜b，则dxxfa与dxxfb同敛态（即同时收敛或同时发散），且有dxxfdxxfdxxfbbaa，（2）其中右边第一项是定积分。证明:由于dxxfa收敛limuaufxdx存在.又limuaufxdx=()limbuabufxdxfxdx=limbuabufxdxfxdx,其中右边第一项是定积分。所以dxxfa与dxxfb同敛态（即同时收敛或同时发散），且有dxxfdxxfdxxfbbaa.□说明:(1)性质2相当于定积分的积分区间可加性;(2)由性质2及无穷积分的收敛定义可推出dxxfa收敛的另一充要条件:任给＞0，存在G≥a，当u＞G时，总有ufxdx。事实上，dxxfa收敛J=limuaufxdx存在0,,Ga当uG时,uafxdxJ0,,Ga当uG时,()uuaaufxdxfxdxfxdx0,,Ga当uG时,ufxdx性质3若f在任何有限区间[a，u]上可积，且有dxxfa收敛，则dxxfa亦必收敛，并有dxxfa≤dxxfa。（3）证明:由dxxfa收敛，根据柯西准则（必要性），任给＞0，存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有2211||,uuuufxdxfxdx利用定积分的绝对值不等式，又有21uufxdx21uufxdx.再由柯西准则（充分性），证得dxxfa收敛又因uuaafxdxfxdxua，令u→+∞取极限，立刻得到不等式(3).□当dxxfa收敛时，称dxxfa为绝对收敛,称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。性质3指出：绝对收敛收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p≤1时dxxxp1sin条件收敛)。二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。由于uadxxf关于上限u是单调递增的，因此dxxfa收敛的充要条件是uadxxf存在上界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理11.2（比较法则）设定义在[a，+∞]上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间[a，u]可积，且满足),[,axxgxf，则当()agxdx收敛时dxxfa必收敛（或者，当dxxfa发散时，()agxdx发散）。证明法一[根据P55习题2结论:设f为定义在[,)a上的增(减)函数.则()limxfx存在的充要条件为f在[,)a上有上(下)界].当()agxdx收敛时,()()limlimuauugxdxGu存在.又G(u)单增,从而存在M0,使得F(u)=()(),[,),uuaafxdxgxdxGuMua即F(u)有上界M.又显然F(u)单增.故|()|()limlimuauufxdxFu存在,从而dxxfa必收敛.法二由于()agxdx收敛,根据柯西准则（必要性）,对任意0,存在G≥a，当u2＞u1＞G时，总有21.uugxdx又||(),[,).fxgxxa因此有2211||.uuuufxdxgxdx根据柯西准则（充分性）,|()|afxdx收敛.□例1讨论dxxx021sin的收敛性。解由于21sinxx≤211x，x∈[0,)，以及2102xdx为收敛（§1例4），根据比较法则，dxxx021sin为绝对收敛。□上述比较法极限形式如下：推论1若f和g都在任何[a，u]上可积，g(x)＞0,且,limxfxcgx，则有（ⅰ）当0＜c＜+∞时，dxxfa与agxdx同敛态；（ⅱ）当c=0时，由agxdx收敛可推知dxxfa也收敛；（ⅲ）当c=+∞时，由agxdx发散可推知dxxfa也发散。证明(i),(0,).limxfxccgx对0,,2cMa当xM时,|()|||,()2fxccgx即|()|3,2()2cfxcgx从而由比较法则结合性质2知,dxxfa与agxdx同敛态.(ii)由0,limxfxgx对0,,Ma当xM时,|()|,()fxgx从而|()|(),fxgx从而由比较法则结合性质2知,由agxdx收敛可推知dxxfa也收敛.(iii)由,limxfxgx对0,,GMa当xM时,|()|,()fxGgx从而|()|(),fxGgx从而由比较法则结合性质2知,由agxdx发散可推知dxxfa也发散.□当选用padxx作为比较对象()agxdx时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判别法）。推论2设f定义于[,)a(a＞0)，且在任何有限区间[a，u]上可积，则有：（ⅰ）当pxxf1，x∈[,)a，且p＞1时dxxfa收敛；（ⅱ）当pxxf1，x∈[,)a，且p≤1时dxxfa发散。推论3设f定义于[,)a，在任何有限区间[a，u]上可积，且limpxxfx,则有：（ⅰ）当p＞1，0≤＜+∞时，dxxfa收敛；（ⅱ）当p≤1，0＜≤+∞时，dxxfa发散。例2讨论下列无穷限积分的收敛性：1）1xxedx；2）2501xdxx.解本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。1）由于对任何实数都有220limlimxxxxxxxee.因此根据上述推论3（P=2，=0），推知1）对任何实数都是收敛的。2）由于12251limxxxx=1，因此根据上述推论3（P=21，=1），推知2）是发散的。对dxxfb的比较判别亦可类似地进行。三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。定理11.3（狄利克雷判别法）若F（u）=dxxfua在[,)a上有界，g（x）在[,)a上当x→+∞时单调趋于0，则dxxgxfa收敛。证明由条件设dxxfua≤M，u∈[,)a。任给＞0，由于limxgx=0，因此存在G≥a，当x＞G时，有4gxM。又因g为单调函数，利用积分第二中值定理（定理9.10的推论），对于任何u2＞u1＞G，存在∈[u1，u2]，使得dxxfugdxxfugdxxgxfuuuu212121。于是有221112||uuuufxgxdxgufxdxgufxdx=2121uaauaadxxfdxxfugdxxfdxxfug＜2244MMMM.根据柯西准则，证得dxxgxfa收敛。□定理11.4（阿贝尔（Abel）判别法）若dxxfa收敛，g（x）在上单调有界，则()afxgxdx收敛。这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题10）。例3讨论dxxxp1sin与1cospxx（p＞0）的收敛性。解这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论：（ⅰ）当p＞1时dxxxp1sin绝对收敛。这是因为sin1,[1,)ppxxxx，而1pxdx当p＞1时收敛，故由比较法则推知1sinpxdxx收敛。（ⅱ）当0＜p≤1时dxxxp1sin条件收敛。这是因为对任意u≥1，有2cos1cossin1uxdxu，而px1当p＞0时单调趋于0（x→+∞），故由狄利克雷判别法推知dxxxp1sin当p＞0时总是收敛的。另一方面，由于2sinsin1cos2,[1,)22pxxxxxxxx，其中12cos2122cosdtttdxxx满足狄利克雷判别条件，是收敛的，而12xdx是发散的，因此当0＜p≤1时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。□例4证明下列无穷积分都是条件收敛的：12sindxx，12cosdxx，14sindxxx。证前两个无穷积分经换元t=x2得到12sindxx=dttt12sin，12cosdxx=dttt12cos.由例3已知它们是条件收敛的。对于第三个无穷积分，经换元t=x2而得14sindxxx=12sin21dtt，它也是条件收敛的。从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x→+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛(P269exe4)。课后作业题：3，4（2）、（4），5（2）、（4）