第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要：本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.关键词：曲面积分；曲线积分1引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2第二型曲线积分例1求sincosxxIeybxydxeyaxdy，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=22axx到点o（0，0）的弧.方法一：利用格林公式法LDQPPdxQdydxdyxy，P(x，y)，Q（x，y）以及它们的一阶偏导数在D上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.解：添加从点o（0，0）沿y=0到点A（2a,0）的有向直线段1L,11sincossincosxxLLxxLIeybxydxeyaxdyeybxydxeyaxdy记为12III，则由格林公式得：1coscosxxDDQPIdxdyeyaeybdxdyxy22Dbadxdyaba其中D为1LL所围成的半圆域，直接计算2I,因为在1L时，0y，所以dy=01因而：222Ibxdxab，从而22231222222IIIabaababa方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（1）若PQyx（与路径无关的条件），则11110000,01,,,AxyxyBxyxyPdxQdyPxydxQxydy（2）,xtyt'',,ABPdxQdyPtttQtttdt是起点是终点解：sincosxxLIeybxydxeyaxdysincosxxLLeydxeydybxydxaxdy记为12III,对于1I，积分与路径无关，所以0,02,0sincossin0xxxaeydxeydyey对于2I，取L的参数方程sinsinxaatyat，t从0到，得22223230223sinsincossincoscos11222Lbxydxaxdyabtabttabtatatdtabaa从而23222Iaba对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdxQdyRdz若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续2LdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR若L非闭，其参数方程为,,',,',,'PxtytztxtQxtytztytRxtytztztdt其中：xxtyytzzt，分别为L的起点，终点参数值.例2计算空间曲线积分I=yzdxzxdyxydz，其中曲线L为圆柱面222xya与平面1xzah的交线0,0ah，从X轴正向看，曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用0,2上三角函数的正交性.解：令cos,sinxatyat，则cos111cosxatzhhhtaa于是I=sin1cossin1coscoscoscossinsin2athtathtatatatathtdtaah方法二：解：2dydzdzdxdxdyIdydzdzdxdxdyxyzyzzxxy21,1,1,0,1212xyDDhhdxdydxdyahaaa3第二型曲面积分3例3计算曲面积分2zxdydzzdxdy，其中为旋转抛物面2212zxy介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系coscoscosPdydzQdzdxRdxdyPQRds1其中cos,cos,cos是有向曲面上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦.解：,,1nxy，0222222cos,cos,cos,,111nxyzxyxyxy222222111xzxdydzzdxdyzxzdsxyxy222222211zxxzxzdsxyxy22222221211Dxxyxydxdyxy22212Dxxydxdy222200cos82rdrdr方法二：分面投影法如果由,zzxy给出，则,,,,,xyDRxyzdxdyRxyzxydxdy2如果由,xxyz给出，则4,,,,,yzDPxyzdydzPxyzyzdydz3如果由,yyzx给出，则,.,,,zxDQxyzdzdxQxyzxzdzdx4等式右端的符号这样规定：如果积分曲面是由方程,,,,xxzyyyxzzzxy所给出的曲面上（前，右）侧，应取“”，否则取“”.解：22zxdydzzdxdyzxdydzzdxdy222zxdydzzxdydzzxdydz后前222222yzyzDDzzydydzzzydydz222220222424yzyDzydydzdyzydz2212xyDzdxdyxydxdy22300142drdr所以28zxdydzzdxdy方法三：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果的方程,zzxy，,xyxyD，（xyD是在xoy面上的投影区域），函数,,PQR在上连续时，则单位法向量为necos,cos,cos52222221,,111yxxyxyxyZZZZZZZZ由于投影元素cosdydzds，cosdzdxds，cosdxdyds，于是得到coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscosxydydzdsdsdxdyZdxdydzdxdsdsdxdyZdxdy所以,,,,,,,,,,,,,,,,,xyxyxyDxyDPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdyPxyzxyZxyQxyzxyZxyRxyzxydxdyPZQZRdxdy等式右端的符号这样确定：如果是由方程所给出的曲面上侧，取“”，否则取“”.当可用显示方程,yyzx或,xxyz表示时，只需注意到此时的法向量为,1,xxyyy或1,,yzxx，可得相应公式.上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：2212zxy，在xoy面上的投影区域：xyD=22,4xyxy，又的下侧，xzx，故由上式可得：2222222222222200114212cos82xyxyDDzxdydzzdxdyxyxxxydxdyxxydxdyrdrrdr方法四：高斯公式,,PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面12z的上侧，则6用高斯公式1200zxdydzzdxdydv所以122zxdydzzdxdyzxdydzzdxdy又112028xyDzxdydzzdxdyzdxdydxdy所以28zxdydzzdxdy4小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用.（指导教师：吕国亮）参考文献[1]华东师大数学系.数学分析(下)[M]，第三版.高等教育出版社，2001，224-231.[2]刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版.高等教育出版社，2003，375-388.[3]林源渠，方企勤.数学分析解题指南[M].北京大学出版社，2001，338-362.[4]陈文灯.数学复习指南[M].世界图书出版社，2000，276-287.[5]田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M].机械工业出版社，2002，175-188.[6]华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001.204-212.[7]孙一生.第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112.[8]陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧[J].科技信息（学术版），2007(1):12-15.