必修一函数与方程题型总结大全

1函数零点常考题型与解题方法知识梳理(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．总结：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．2(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210题型一、函数零点的求解与所在区间的判断例1、设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)2、函数y＝ln(x＋1)与y＝1x的图象交点的横坐标所在区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)3、函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)变式1、已知函数f(x)＝6x－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)2、在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，343、方程log3x＋x＝3的根所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4、函数f(x)＝log2(x＋2)－x零点所在区间为______________3题型二、判断函数零点个数例1、方程2x＝x2的实数根的个数是()A．1B．2C．3D．无数多2、函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．43、函数f(x)＝x＋1，x≥0x2＋x，x0的零点的个数为________．4、若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．变式1、函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．3B．2C．1D．02、函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为（）A．3B.2C．1D．03、方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是（）A．1B2C．3D．44、函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．技巧总结判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．4题型三、利用函数的零点求解参数及取值范围例1、已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A．12，0B．－2，0C．12D．02、已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________3、已知函数f(x)＝|x2＋5x＋4|，x≤0，2|x－2|，x0.若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．4、已知函数f(x)＝2x－a，x≤0，x2－3ax＋a，x＞0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．变式1、函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)2、已知函数f(x)＝|2x－1|，x2，3x－1，x≥2，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(0，3)C．(0，2)D．(0，1)3、若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．0，12C．(1，＋∞)D．(0，1)4、已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_____________55、若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围________补充：综合题型1、f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为()A．4B．5C．8D．102、偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是()A．7B．8C．9D．103、已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________．4、若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2；函数g(x)＝lg|x|，则函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．题型四二次函数的零点问题例1、已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1的两个零点都在(－2,4)内，求实数a的取值范围．2、已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．变式1、若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；2、关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时：(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；3、若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．(－1,1)B．(－2,2)6C(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)考向五、二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④．例1、(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCD2、(教材习题改编)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间为()A．(2，4)B．(3，4)C．(2，3)D．(2．5，3)3、用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．