函数的周期性

09函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数)(xfy，如果存在一个常数0T，能使得当x取定义域内的一切值时，都有)()(xfTxf，则函数)(xfy叫做以T为周期的周期函数。2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(Rxaxf；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若T为)(xfy的周期，则nT)0(nZn且也是)(xfy的周期(4)若函数()fx恒满足()()fxafxb，则()fx是周期函数，ba是它的一个周期；(5)若函数()fx恒满足()()fxafx(0)a，则()fx是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数()fx恒满足()()fxafxb()ab，则()fx是周期函数，2ab是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即0)()(bxfaxf型(6)若函数()fx恒满足1()()fxafx(0)a，则()fx是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数()fx恒满足1()()fxafxb()ab，则()fx是周期函数，2ab是它的一个周期；(7)若函数()fx恒满足1()()fxafx(0)a，则()fx是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数()fx恒满足1()()fxafxb()ab，则()fx是周期函数，2ab是它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为1型”即1)()(bxfaxf型(8)若函数()fx是偶函数，且关于直线(0)xaa对称，则()fx是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数关于直线,()xaxbab对称，则()fx是周期函数，2ab是它的一个周期；(9)若函数()fx是奇函数，且关于直线(0)xaa对称，则()fx是周期函数，4a是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a、直线()xbab对称，则()fx是周期函数，4ab是它的一个周期；(10)若函数()fx是奇函数，且关于点(,0)(0)aa对称，则()fx是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a、(,0)()bab对称，则()fx是周期函数，2ab是它的一个周期。（8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型（11）分式递推型：即函数)(xf满足)()(1)(1)(babxfbxfaxf由)()(1)(1)(babxfbxfaxf得)2(1)2(bxfaxf，进而得1)2()2(bxfaxf，由前面的结论得)(xf的周期是baT4经典习题（提示：本知识点常考小题，因此练习为主）一.选择题1.设fx是,上的奇函数，xfxf2，当10x时，xxf，则5.7f（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.)(xf是定义在R上的以3为周期的偶函数，且0)2(f，则方程)(xf=0在区间6,0内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．23.已知定义在R上的奇函数)(xf满足)()2(xfxf，则)6(f的值为（）A.1B.0C.1D.24.设函数))((Rxxf为奇函数，且)2()()2(,21)1(fxfxff，则)5(f等于（）A.0B.1C.25D.55.设()fx是定义在R上以6为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，且()yfx的图像关于直线3x对称，则下面正确的结论是（）.A(1.5)(3.5)(6.5)fff.B(3.5)(1.5)(6.5)fff.C(6.5)(3.5)(1.5)fff.D(3.5)(6.5)(1.5)fff6.定义在R上的函数)(xf满足)(xf0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则)2009(f的值为()A.-1B.0C.1D.27.已知定义在R上的函数()fx满足3()()2fxfx且)1()2(ff1,(0)2f,则(1)(2)(2008)(2009)ffff…（）A.2B.1C.0D.18.定义在R上的函数xf是奇函数，又是以2为周期的周期函数,则)7()4()1(fff()A.-1B.0C.1D.49．定义在R上的偶函数)(xf满足)1(xf)(xf，且在]0,1[上单调递增，设)3(fa，)2(fb，)2(fc，则cba,,大小关系是()A．cbaB．bcaC．acbD．abc10.设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且11,2ffa，则().A2a.B2a.C1a.D1a11.函数()fx既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()fx在1,0上是减函数，那么()fx在2,3上是().A增函数.B减函数.C先增后减函数.D先减后增函数12.设偶函数()fx对任意xR，都有1(3)()fxfx，且当3,2x时，()2fxx，则(113.5)f().A27.B27.C15.D1513.定义在R上的函数()fx既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程()0fx在闭区间[]TT，上的根的个数记为n，则n可能为().A0.B1.C3.D514.定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f的值为().A21.B21.C23.D2315.已知)(xf是定义在R上的函数，且满足)1()1(xfxf，则“)(xf为偶函数”是“2为函数)(xf的一个周期”的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件16.设xf是定义在R上的正值函数,且满足xfxfxf11.若xf是周期函数,则它的一个周期是（）A.3B.2C.6D.417.在R上定义的函数xf是奇函数，且xfxf2，若xf在区间2,1是减函数，则函数xf（）A.在区间2,3上是增函数，区间4,3上是增函数B.在区间2,3上是增函数，区间4,3上是减函数C.在区间2,3上是减函数，区间1,0上是增函数D.在区间1,2上是减函数，区间4,3上是减函数二.填空题18.已知定义在R上的偶函数()fx满足(2)()1fxfx对于xR恒成立，且()0fx，则(119)f19.函数fx对于任意实数x满足条件)(1)2(xfxf若5)1(f，则5ff__________20.设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)3()2()1(fff)5()4(ff21.若存在常数0p，使得函数()fx满足()()2pfpxfpxxR，()fx的一个正周期为22.设1()1xfxx，记(){[()]}nnffxffffx个，则)2011(2011f23．已知函数)(xf满足),)(()()()(4,41)1(Ryxyxfyxfyfxff，则)2010(f三.解答题24.设函数)(xf是定义域R上的奇函数，对任意实数x有)23()23(xfxf成立（1）证明：)(xfy是周期函数，并指出周期；（2）若2)1(f，求)3()2(ff的值25.已知函数()fx的图象关于点)0,43(对称，且满足3()()2fxfx，又2)0(,1)1(ff，求)2011()3()2()1(ffff的值.26.已知函数)(xf是定义为R上的奇函数，且它的图像关于直线1x对称（1）求证：)(xf是周期为4的周期函数；（2）若)10()(xxxf，求4,5x时，函数)(xf的解析式。27.已知函数)(xf的定义域为R，且满足)()2(xfxf（1）求证：)(xf是周期函数；（2）若)(xf为奇函数，且当10x时，xxf21)(，求使21)(xf在2009,0上的所有x的个数。28.设函数()fx在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间0,7上，只有(1)(3)0ff．(1)试判断函数()yfx的奇偶性；(2)试求方程()0fx在闭区间]2011,2011[上的根的个数，并证明你的结论.29.定义在R上的奇函数()fx有最小正周期4，且0,2x时，3()91xxfx。求()fx在2,2上的解析式参考答案（一）选择题1～5BBBCB6～10CABDD11～15ADDDC16～17CC4、特取xxf21)(13、特取xxfsin)(16、由xf是定义在R上的正值函数及xfxfxf11得11xfxfxf，)()1(]1)1[(12xfxfxfxfxf，)(1)1()()1()1()2(3xfxfxfxfxfxfxf，所以)(6xfxf，即xf的一个周期是6（二）填空题18、119、5120、021、2p22、11)()(15xxxfxf，可见4T，)2011(2011f1005100623、令1,ynx得)()2()1(nfnfnf同理)1()1()(nfnfnf两式相加得6)1()2(Tnfnf，由此可得21)2010(f（三）解答题24、解：（1）3T；（2）因为函数)(xf是定义域R上的奇函数，且3T，所以0)0()3(ff在)23()23(xfxf中，令21x得2)1()2(ff2)3()2(ff25、解：由3)23()(Txfxf在)43()43(xfxf中，令41x得)21()1(ff在)23()(xfxf中，令21x得)1()21(ff所以)1()21()1(fff，而1)1(f，所以1)1(f又1)1()2(ff，2)0()3(ff所以0)3()2()1(fff，1)1()2011()3()2()1(fffff26、解：（1）4T（2）10x时，xxf)(01x时，10x，从而xxfxxf)()(又当4-5x时，04-1x，xxxf4)4()4-(从而xxf4)(（4-5x）又因为0)0()4(ff也满足上式，xxf4)(（4-5x）27、解：（1）4T（2）10x时，xxf21)(01x时，10x，从而xxfxxf21)(21)(故)11(21)(xxxf又当31x时，121x)2(21)2()2()(xxfxfxf从而xxxf211)2(21)()31(x由图象可知在2009,0上使21)(xf的所有x的个数为502。28、解:（1）由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf,从而知函数)(xfy的周期为10T又,0)1()3(ff,0)3()103()7(fff而0)7(f，故函数)(xfy是非奇非偶函数；(2)又0)9()7()13()11(,0)