曲面积分与高斯公式

曲面积分与高斯公式1.第一类曲面积分(1)问题的提出设有一块光滑的金属曲面S。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)s处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量MSdszyxf),,(说明:第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算(代入法)设S是一个光滑曲面，S的方程是Z=f(x,y),dxdyzzyxzyxfdszyxfDyxs221)),(,,(),,(当f1时可得空间曲面面积的计算公式，即dxdyzzSDyx221例1．I=dsyxs22,S是半球面2222Rzyx（0z）。解：222yxRz,222:,),(RyxDDyx222yxRxxz,222yxRyyz22222)()(1yxRRyzxz2002222222221RDsrdrrRrdRdxdyyxRRyxdsyx=232R2.第二类曲面积分(1)问题的提出磁通量问题。表示RdxdyQdzdxPdydz说明:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号(2)计算(代入法)RdxdyQdzdxPdydz用带入法计算时,一般应分成三个计算:①xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[(),,(（如果曲面积分取的上侧取号，如果曲面积分取的下侧取-号）.类似有②xyDdydzzyzyxPdydzzyxP)],),,([(),,(（如果曲面积分取的前侧取号，如果曲面积分取的后侧取-号）。③xyDdzdxzxzyxRdzdxzyxQ]),,(,[(),,(（如果曲面积分取的右侧取号，如果曲面积分取的左侧取-号）.例2:计算曲面积分zdxdyxydzdxdydzxz2)(2，其中是圆面0,122zyx下侧。分析:由于在上，0,0dzz进而，所以22)2()2(2)(2Ddxdydxdyzdxdyzxydzdxdydzxz评论：本题展示的化简积分的方法是非常重要的。例3:计算曲面积分zdxdydydzxz)(2，其中是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的下侧分析:zdxdydydzxzzdxdydydzxz)()(22zdxdy可直接代公式计算,而dydzxz)(2需要分成前后两部分分别计算.解:（略）(3)高斯公式设D是R3内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，方向是外侧（相对于区域D而言）。又设函数P，Q，R都在D内关于x,y,z有连续偏导数，则下列高斯公式成立：DDRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp由Gauss公式可计算某些空间立体积分V=DDzdxdyydzdxxdydzdxdydz31例4计算Sdxdyzdzdxydydzx333,式中S为球面2222azyx的内侧解由高斯公式知Sdxdyzdzdxydydzx333VdVzyx)(3222dddasin340020ddda40020sin3=55051251)cos(23aa例5：计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面221(01)4yzxz的上侧。【分析】（补面法）本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面：221:1,04yxz，取下侧.则123Ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxxydxdy=(2)3Dzzdxdydzxydxdy其中为与1所为成的空间区域，D为平面区域2214yx.由于区域D关于x轴对称，因此30Dxydxdy.又(2)3zzdxdydzzdxdy=1100332(1).zDzdzdxdyzzdz其中zD22:14yxz.【评注】（1）注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化。本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂。（2）本题中的三重积分计算用“先二后一”法，若用“先一后二”法计算量是大的例6：计算0,:,2222aazyxSzdxdyydzdxxdydzS外侧。分析：该题zRyQxP1,1,1，它们在S所包围的区域内不连续(在原点没定义，偏导数不存在)，所以不能用高斯公式。详解：SSSSzdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydz由积分表达式及S的对称性知SSSzdxdyydzdxxdydz所以SSzdxdyzdxdyydzdxxdydz3记上半球（上侧）为S上，记下半球（下侧）为S下DDSDSSyxadxdyyxadxdyyxadxdyzdxdyzdxdyzdxdy2222222222下上adrrarda4220022所以azdxdyydzdxxdydzS12