考研数学高等数学强化习题-常数项级数

模块十三常数项级数Ⅰ经典习题一．具体级数收敛性的判别1、判断下列级数的收敛性（1）21lnnnn（2）11nnn（3）22111nnn（4）2211ln1nnn（5）2111...1nnnaaaa（6）211212nnn（7）21nnne（8）101ln1nnxdx2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）（1）22ln1nnnn（2）11nnnn（3）11111...2nnn（4）2111nnnnaa，（1a）3、下列级数中不一定收敛的是（）（A）12!nnnnn（B）1111nnnnn（C）211,0,0nabanbnc（D）1,01nnnpp4、下列级数条件收敛的是（）（A）211nnknn（B）1(2)sin3nnn（C）2111nnnan，其中21nna收敛.（D）121nnnn5、对于常数0k，级数1211(1)tan()nnknn()(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性与k的取值有关6、设a为常数，则级数21sin()1[]().nnann（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与a的取值有关7、判别级数111[ln]nnnn的敛散性，并证明1112lim1.lnnnn二．抽象级数收敛性的判别8、1301sin(1)1nnnkxdxx(k为常数)（）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性有k有关9、设()fx是微分方程2(1)xyxyxe满足初始条件(0)0y的特解，则无穷级数1(1)()nfn()（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不定10、设函数()fx在区间(0,1)内可导，且导函数()fx有界：()fxM，证明（1）级数111()()1nffnn绝对收敛；（2）1lim()nfn存在．11、设函数yyx是微分方程'yxy当01y时的一个特解，试讨论级数1111nfnn的收敛性.12、设fx在1,上单调增加，且lim.xfxA（1）证明级数11nfnfn收敛，并求其和；（2）进一步设fx在1,上二阶可导，且0,fx证明级数1nfn收敛。13、设正项数列na单调下降，且11nnna发散，证明111nnnaa收敛.三．收敛性的讨论14、已知0(1,2,3)nun，且1(1)nnnu条件收敛，若设2123(1,2,3...)nnnuun，则级数1nn().(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛或发散取决于{}nu的具体形式15、下列选项中正确的是()(A)若lim1nnnab，则1nna与1nnb有相同敛散性(B)若正项级数1nna收敛，则必有lim1nnna(C)若正项级数1nna发散，则必有1nan(D)正项级数1(0,0)nnn的敛散性与、有关16、下列四个有关级数的论断①若级数1nnu发散，则lim0nnu②若1lim1nnnuu，则1nnu必收敛③若正项级数1nnu收敛，则级数21nnu必收敛④若0(1,2,3...)nun且交错级数11(1)nnnu条件收敛，则级数1nnu必发散正确的是()(A)①与②(B)②与③(C)③与④(D)①与④17、若级数1nna收敛，则级数11111112nnnnnnnnnnnAaBaaaCaaD收敛;收敛;收敛;收敛;18、设有两个数列,,nnab若lim0,nna则111122112211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAbabBbabCbabDbab当收敛时，收敛;当发散时，发散;当收敛时，收敛;当发散时，发散;19、若级数2211,nnnnab均收敛，则级数1nnnabABCD条件收敛;绝对收敛;必发散;敛散性不能确定;20、,nnab符合下列哪一个条件，可由1nna发散推出1nnb发散nnnnnnnnAabBabCabDab21、若级数1nna收敛，1nnb发散，则级数211211nnnnnnnnnnAabBaCbDab收敛;必收敛;必发散;必发散;22、设2121nnnaa收敛，则111lim0;nnnnnnnnnAaBaCaDaa收敛;发散;当0时,必收敛;、正项级数1nna收敛是级数21nna收敛的ABCD充要条件;充分条件;必要条件;即非充分条件，又非必要条件;24、如果级数1nnnab收敛，则级数11,nnnnabABCD都收敛;都发散;敛散性不同;同时收敛，同时发散;25、如果级数11,nnnnab都发散，则1111;nnnnnnnnnnnnAabBabCabDab必发散;发散;必发散必发散;26、已知级数1nna收敛，则下列级数中必收敛的是211212111;nnnnnnnnnknnAaBanCaaDaak;;,为正整数;27、下列命题成立的是11111111limlimlim,lim,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaAbabaBabbCababDabab若=0，则收敛时，收敛;若=，则发散时，发散;若=1，则中至少有一个发散;若=0，则中至少有一个收敛;28、设有命题（1）若正项级数1nnu满足11nnuu，则级数1nnu必收敛；（2）若正项级数1nnu收敛，则lim1nnnu；（3）若lim1,nnnab，则级数11,nnnnab同敛散；（4）若数列na收敛，则级数11nnnaa收敛。以上四个命题中正确的个数为（）1234ABCDⅡ参考答案一．具体级数收敛性的判别1.(1)收敛;(2)发散;(3)发散;(4)收敛;(5)收敛;(6收敛);(7)收敛;(8);收敛2.(1)条件收敛;(2条件收敛;(3)条件收敛;(4)绝对收敛;3．C4．A5．C【解析】：因为数列21tan()knn单调减少，且21limtan()0nknn，故交错级数1211(1)tan()nnknn收敛.对于级数1221111(1)tan()tan()nnnkknnnn.由于2211tan()limlim111nnkknnnnnn，而级数11nn发散，故级数211tan()nknn发散，因此对任何常数k级数1211(1)tan()nnknn条件收敛.6．C【解析】：因为21sin()nnan收敛，11nn发散，所以级数21sin()1[]nnann发散.7．收敛【解析】：因为23111111110lnln(1)()23nnnnnnnnn232111232nnn因为2112nn收敛，所以111[ln]nnnn收敛，设其和为A．11111[ln]1ln(1),()2nnkkSnAnkkn故111ln(1)2limlim0.lnlnnnnAnnn(1)2lim0,lnlnnnnnn而ln(1)lim1,lnnnn所以1112lim1.lnnnn二．抽象级数收敛性的判别8．A【解析】：由于1330nn022sinsin111limlimlim1122nntkxktdxakxttntnn令又211nn收敛,故1301sin1nnkxdxx也收敛,也即1301sin(1)1nnnkxdxx绝对收敛故正确选项是（A）9．B【解析】:2(1)xyxyxe,两边再对x微分,得2((1)2(1))xyyxyxxe把(0)0y代入上面两个微分方程可得到(0)1,(0)3yy由(0)1y可知,存在0,使得在(,)上,()0fx,此时()fx单调递增所以有11()()1ffnn,由莱布尼茨定理知1(1)()nfn收敛.故有223()()2fxxxx又2211311()()(())21,11fnnnnnnn,1n发散,所以1()fn也发散,即有1(1)()nfn条件收敛.10．【解析】：(1)1111()()()()11nfffnnnn2111(),(1)(1)nfMMnnnnn收敛，所以由比较判别法知，111()()1nffnn收敛，即111()()1nffnn绝对收敛．（2）由级数111()()1nffnn收敛，则它的前n项部分和111()()1nnkSffkk111111()()()()()()12231ffffffnn1(1)(),1ffn当n时极限存在.所以1lim()(1)lim1nnnffSn存在，即1lim()nfn存在，证毕．11．绝对收敛【解析】因为yyyxy1,所以.由1)0(y得2)0(,1)0(yy．根据泰勒公式，得22221111111100(0)1,2yyyyoonnnnnnn所以，11111lim2nnnyn．而级数121nn收敛，故由正项级数的比较审敛法知，级数1111nnny收敛，故原级数绝对收敛.12.略13.略三．收敛性的讨论14．C【解析】：由交错级数1(1)nnnu条件收敛及0(1,2,...)nun知1321lim()nnuuu，1234212lim()nnnuuuuuuT，其中T个常数.级数1nnv的部分和()()nnnnnvvvuuuuuuuuu，所以，limnnS，即1nn发散.故应选(C)15．D【解析】：比较判别法仅适合正项级数，故排除选项