结构振动与稳定总复习

结构振动与稳定总复习y(t)mk非稳定平衡稳定平衡中性平衡振动分析稳定分析概念(记忆)结构稳定：结构维持原有平衡状态的能力失稳：结构丧失原有平衡状态屈曲：结构丧失原有平衡的变形状态临界载荷：结构失稳时对应的载荷临界状态：结构失稳时的变形状态平衡路径：载荷-位移曲线稳定平衡：撤除干扰后，能够恢复初始状态的平衡（总势能取极小值）不稳定平衡：撤除干扰后，不能够恢复初始状态的平衡（总势能取极大值）中性平衡：可以停留在任意位置的平衡（总势能取恒定值）可能变形：满足位移边界条件的变形形式。系统总势能：应变能与荷载势能之和。动荷载：荷载随时间变化，且引起的惯性力与其它荷载在同一量级上。自由度：用于描述系统空间位置的独立几何参数振幅a：振动时最大位移值自振周期T：振动一个循环所需时间自振频率f：单位时间内循环数圆频率w：w=2pf动力系数b：动荷载作用下的位移放大系数振型：与固有频率对应的变形形式振动特征（动力学特征）：固有频率＋振型刚度k、柔度d、有阻尼自振圆频率wr、相位角a、静位移Dst、最大动位移Dmax、阻尼常数c、临界阻尼系数cr、阻尼比x、基频、共振规定(记忆)MxyxyMMEIy=xyMMEIy=a12FPFPq1v1v2q2eb12FPFPM1F1M2eF2xxyyMEIy=公式(记忆)虎克定律：F=kDD=dF梁弯曲公式：应变能公式：由屈曲引起的杆微段轴向位移公式：轴向力势能：MEIy=2021yEIUl=dxyd2'21==dxyFUPF2'2220220''()lliiiEIYmYxdxmYw=固有频率：应用能量法求解时，所设的位移函数应满足位移边界件。22102xCxCCyy=a微分方程求解：动能：2012lyTmdxt=单自由度振动控制方程：PmycykyFt=sintryaetxwwa=动力系数1/222222214pstyyqqbxww==解的形式：频率与周期1kgmmWwdd===12Tfpw==无限自由度振动控制方程：解的形式：44420yyEImxt=1(,)()sinnnnnnyxtaYxtwa==会根据边界条件和初始条件确定方程的系数。简单分析1)结合简单的例题解释临界状态、临界载荷和平衡路径。FRFPlqABB'临界状态lABFPk初始状态若采用小挠度理论q1，临界载荷为FPcr=klOqCAFPI(稳定）II(随遇平衡）FPcr=klI(不稳定）B平衡路径2)采用能量法求解无限自由度体系的稳定问题时，采用了级数：，其中函数ji应满足什么条件？得到的临界载荷是大于、小于还是等于精确结果，为什么？级数的项数取的越多，临界载荷越大还是越小，为什么？解：ji应满足给定的位移边界条件，临界载荷大于精确解，因为增加了约束，项数越多，约束越少，越接近精确解，随着项数增加到无限，临界载荷值从上面趋近精确解。==niiiay1j3)比较二阶分析与一阶分析的结果，谁大谁小？讨论两种临界状态，FN等于0和FNcrFNOxEIlyba解：二阶分析结果跨中最大挠度：3/tan4822tan2)()(332/1maxuuuEIlFllaFFyyPNPx====aa跨中最大弯矩：uulFlFFEIdxydEIMPNPlxtan42tan22/22max====aa其中：224uEIlFN=22lEIFNcrp=FP4)比较两类失稳的异同说明：结构完善程度、干扰、失稳前的载荷-挠度关系、临界点、两者的过度。5)比较静力法和能量法的异同说明：静力法是通过列平衡方程的方法进行求解的，在微分条件下满足的严格的精确的方法；能量法是对总势能取驻值的方法进行求解的，它是在积分条件下近似满足的方法。能量的方法更有应用前景。静力法：严格解析，分析困难，结果精确能量法：近似，实用，结果偏大6)用刚度方程求解刚架的临界荷载ABIFPIllCFPq7)用静力法给出求临界荷载的分析思路ABCDI1HFPI1I2FPl结构振动部分要求1、掌握弹性体系振动自由度的概念及其确定方法；2、了解单自由度体系自由振动方程的建立及其求解，振幅、相位角与初始条件的关系；3、重点掌握结构自振周期(及频率)的公式与计算方法；4、单自由度体系强迫振动中，重点搞清动力系数的概念，掌握简谐荷载作用时动力系数的求法。5、了解阻尼对自由振动的振幅及强迫振动动力系数的影响；6、多自由度体系自由振动，重点掌握两个自由度体系自振频率的计算，主振型的概念与求法，主振型正交性原理；7、会用能量法计算频率，并掌握集中质量法；8、会计算两个自由度体系在简谐荷载下强迫振动的振幅；9、多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动(振型叠加法)，无限自由度体系自由振动与强迫振动；10、会用矩阵位移法计算频率。结构振动重要结论：1、结构的固有频率和振型是结构的固有性质，与外界干扰无关；2、激励频率与固有频率相等时，发生共振；3、动力系数有升有降，可以大于1（甚至到无穷大）或小于1，依赖于频率比；4、阻尼的存在可以有效降低共振幅值；5、阻尼数值增大，振动的周期将增大；6、如果阻尼数值增大，强迫振动动力系数将减小；7、阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角多自由度振动控制方程：会根据研究对象列此方程解的形式：关心量：刚度系数kij，柔度系数dij，振型Y，基频w1。重要结论：1、振型和固有频率对应，与外荷载无关；2、主振型之间具有正交性；3、任一位移向量可以按主振型展开。sinPtq=MyKyF2Pq=KMYF重要结论：4、n个自由度的体系有n发生共振的可能性；5、对于多自由度，频率越低，对应的变形越容易实现，频率越高，对应的变形越困难实现。简单分析题例：设图示竖杆顶端在振动开始时的位移为0，初速度为v0=5m/s，试求顶端B的位移振幅、最大速度和加速度。l=3mEI=2×106N·m2Bv0=5m/sW=20kNA平面刚架向葫芦串转化，注意转角关系y1(t)y2(t)y3(t)mFP(t)mFP(t)r1PFP11r1PFPm1r1PFP当外荷载不作用在指定节点上的处理方法图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm一般结论：约束越强，柔度越小，刚度越大，固有频率越大。EIl4831=dl/2l/2m311481mlEIm==dwl/2l/2m钢梁钢梁橡胶梁EIl481032=d32210481mlEIm==dw一般结论：材料刚度越大，固有频率越大。kij的计算方法k1①②1k11k2Dk1①k1②k2k2同时有：k21=-k2k1+k2=k11基本方程111112212211212222ytmytmytytmytmytdddd==dij是体系的柔度系数，表示在节点j作用单位力（其余点力保持为零），节点i所产生的位移。d2112d111d2212d12建立方程时，为什么不考虑约束处的反力？m2mk/5k/3k1230.29360.66730.9319kmkmkm===0.1630.5691.0-0.924-1.2271.02.76-3.3421.0一般结论：频率越低，对应的变形越容易实现，反之也成立。w1w2w3FPFNl1234i1i1i2=ni1FPFNH对刚架进行稳定性和二阶分析1、为什么1、2杆中的轴力直接取FN；2、为什么3杆中横向位移对方程没有贡献；3、为什么3杆中没有几何刚度矩阵；量纲长度：米（m）时间：秒（s）力：牛顿（N）质量：千克（kg）N=kg·m/s2速度：米/秒（m/s）加速度：米/秒2（m/s2）刚度k：牛顿/米（N/m）柔度d：米/牛顿（m/N）阻尼常数：牛顿·秒/米（N·s/m）量纲应力：帕斯卡（Pa=N/m2）应变：无量纲弹性模量：帕斯卡（Pa=N/m2）泊松系数：无量纲转角：无量纲（弧度制）曲率：（1/m）弯矩：牛顿·米抗弯刚度EI：牛顿·米2（N·m2）抗拉刚度EA：牛顿（N）永久记忆y(t)mk非稳定平衡稳定平衡中性平衡振动分析稳定分析虎克定律：F=kDD=dF振动特征（动力学特征）：固有频率＋振型共振：荷载频率=固有频率约束越强，变形越小，固有频率越大。频率越低，对应的变形越容易实现。结构稳定：结构维持原有平衡状态的能力两类失稳：极值点和分支点失稳稳定分析前提：加扰动二阶分析=结构力学分析+稳定分析