苏教版高中数学必修四第二章平面向量精选题

让学生学会学习知胜教育个性化教学专用教案学生姓名：科目：数学高一年级备课时间：年月日讲次：第讲授课教师：周老师授课时间：年月日至上课后，学生签字：年月日教学类型：■强化基础型□引导思路型■错题讲析型□督导训练型□效率提升型□单元测评型□综合测评型□应试指导型□专题总结型□其它：教学目标：平面向量总结。高中数学必修4平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxyjxia向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a为单位向量｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx让学生学会学习2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i）)(a=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底让学生学会学习7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c，④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c，其中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵ABDC，∴||||ABDC且//ABDC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，//ABDC且||||ABDC，因此，ABDC．③正确．∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．④不正确．当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b=0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．让学生学会学习点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①ABBCCD，②DBACBD③OAOCOBCO解：①原式=()ABBCCDACCDAD②原式=()0DBBDACACAC③原式=()()()0OBOAOCCOABOCCOABAB例3设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb(kR)，若c∥d，试求k解：∵c∥d∴由向量共线的充要条件得：c=λd(λR)即ka+b=λ(a+kb)∴(kλ)a+(1λk)b=0又∵a、b不共线∴由平面向量的基本定理1010kkk二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy(2)若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy(3)若a=(x,y)，则a=(x,y)(4)若1122,,,axybxy，则1221//0abxyxy(5)若1122,,,axybxy，则1212abxxyy让学生学会学习若ab，则02121yyxx3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则1212(,)abxxyyabba)()(cbacbaABBCAC向量的减法三角形法则1212(,)abxxyy)(babaABBAOBOAAB向量的乘法a是一个向量,满足:0时,a与a同向;0时,a与a异向;=0时,a=0),(yxaaa)()(aaa)(baba)(a∥bab向量的数量积ba是一个数0a或0b时,ba=00a且0b时,bababa,cos||||1212abxxyyabba)()()(bababacbcacba)(22||aa,22||yxa||||||baba例1已知向量(1,2),(,1),2abxuab，2vab，且//uv，求实数x的值让学生学会学习解：因为(1,2),(,1),2abxuab，2vab所以(1,2)2(,1)(21,4)uxx，2(1,2)(,1)(2,3)vxx又因为//uv所以3(21)4(2)0xx，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标解：设(,)Pxy，则(,),(4,)OPxyAPxy因为P是AC与OB的交点所以P在直线AC上，也在直线OB上即得//,//OPOBAPAC由点)6,2(),4,4(),0,4(CBA得，(2,6),(4,4)ACOB得方程组6(4)20440xyxy解之得33xy故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）规定00a2向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||aaaa5乘法公式成立：2222abababab；2222abaabb222aabb6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：abba②对实数的结合律成立：abababR让学生学会学习③分配律成立：abcacbccab特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；（2）消去律不成立abac不能得到bc（3）ab=0不能得到a=0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)axybxy，则a·b=1212xxyy8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（001800）叫做向量a与b的夹角cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝O02121yyxx平面向量数量积的性质例1判断下列各命题正确与否：（1）00a；（2）00a；（3）若0,aabac，则bc；⑷若abac，则bc当且仅当0a时成立；（5）()()abcabc对任意,,abc向量都成立；（6）对任意向量a，有22aa解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸错；⑹对例2已知两单位向量a与b的夹角为0120，若2,3cabd