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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 3、高三一轮复习:函数的概念与性质
第1页(共40页)函数的概念【知识要点】一、函数的概念:1、定义:(xy22、22xy、||xy、xy||都是函数吗?)2、函数的三要素:定义域、对应法则、值域;3、图像特征:在函数的定义域内作垂直于x轴的直线,它与函数图像有且只有一个交点;4、表示方法:解析法、图像法、列表法等;5、函数的运算:函数的和与积(关键:定义域求交集)。二、定义域(集合或区间表示):1、分式)()(xgxfy:分母0)(xg;2、偶次根式nxfy2)((nN*):被开方数0)(xf;3、零次幂0)]([xfy:底数0)(xf;4、对数)(logxfya(0a且1a):真数0)(xf;5、正切)(tanxfy:2ππ)(kxf,kZ;此外,要注意实际问题中的背景意义。【例题解析】1、判断下列函数是否是同一函数?(1)55xy与2xy;(否)(2)xyeln与xylne;(否)(3)3)3)(1(xxxy与1xy;(否)(4)0xy与01xy;(是)(5)33xxy与33xxy;(否)(6)2lgxy与xylg2;(否)(7)12)(2xxf与12)(2ttg;(是)(8)xycos与||cosxy。(是)2、求下列函数的定义域:(1))|lg(|12xxxy;(0,2121,1)第2页(共40页)(2))45(log)1(xxy;()5log,0()0,1(4)(3)05.0)32(51logxxxy;(,2323,1)(4))]23(lg[log21xy。()12,7()3、已知函数)(xf的定义域为]3,1[,则函数)12(xf的定义域为]2,1[;【变式1】已知)(xf的定义域为]1,0[,则)5(2xf的定义域为]6,5[]5,6[;【变式2】已知)(xf的定义域为]1,0[,则2lg2xxf的定义域为]4,1[]2,5[。4、已知34)12(xxf,求)(xf的解析式。(52)(xxf)【变式1】已知126)23(2xxxf,求)(xf的解析式。(37232)(2xxxf)【变式2】已知函数)(xf的定义域为(0,),且满足31122xxxxf,求函数)(xf的解析式。(5)(2xxf,(0,)x)5、(1)已知2)(xxf,23)(xxxg,则)()(xgxf]3,2(,3xx;(2)已知)(xf的定义域为]3,0[,则)1()1()(xfxfxF的定义域为]2,1[;(3)设0,00,π0,1)(xxxxxf,则)]]1([[fff1π;(4)设1,log1,2)(81xxxxfx,且41)(xf,则x3;(5)设π0,cos20,)(2xxxxxf,若2))((0xff,则0xπ43。第3页(共40页)6、(1)已知)2(log)(22axxxf的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)已知)2(log)(22axxxf的值域为R,求实数a的取值范围。【解】(1)由题意,得:022axx恒成立,则044a,解得:实数a的取值范围是),1(。(2)由题意,得:axx22可以取得一切正实数,所以044a,解得:实数a的取值范围是]1,(。【变式】若函数axxxf4lg)(的值域为R,则数a的取值范围是]4,(。7、已知2)(2xxf,0,20,1)(xxxxxg,求函数)]([xgf和)]([xfg的解析式。【解】当0x时,12)1()]([2xxxfxgf;当0x时,24)2()]([2xxxfxgf;所以,0,240,12)]([22xxxxxxxgf;22,422,3)2()]([222xxxxxxgxfg或。8、设函数)(xf的定义域为(,0)(0,),且满足xxfxf312)(,求)(xf的解析式。【解】在xxfxf312)(①中用x1替代x,得:xxfxf3)(21②,联立①和②,解得:xxxf2)((0x)。【变式】已知)(xf满足xxfnxfm2)23()32(,其中m、n为常数,||||nm,求函数)(xf的解析式。第4页(共40页)【解】设tx32,则)3(21tx,所以3)()(ttfntfm①,在①式中用t替换t,得:3)()(ttfntfm②,联立①和②,解得:nmtnmtf31)(,所以,nmxnmxf31)(。第5页(共40页)函数的性质(1)——奇偶性和单调性【知识要点】一、函数的奇偶性:1、定义:对于函数)(xf,若对定义域D内任意实数x,都有)()(xfxf,则称函数)(xf为偶函数;若对定义域D内任意实数x,都有)()(xfxf,则称函数)(xf为奇函数。2、常用性质:(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称;(2)图像特征:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称;(3)若奇函数)(xf在原点处有定义,则0)0(f;(4)奇偶函数的运算性质:奇奇奇,偶偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇偶奇;(5)常见函数的奇偶性:1°常函数cy(xR)是偶函数,当且仅当0c时,常函数cy(xR)既是奇函数也是偶函数;2°一次函数bkxy(0k)是奇函数的充要条件是0b;3°二次函数cbxaxy2(0a)是偶函数的充要条件是0b。二、函数的单调性:1、定义:对于函数)(xfy以及定义域内的给定区间I,如果任意1x、Ix2,且21xx,总有)()(21xfxf()()(21xfxf),则称)(xf是区间I上的单调递增(减)函数,区间I称为)(xf的单调递增(减)区间;2、常用性质:(1)若)(xf在区间I上单调递增(减),c为任意常数,则cxf)(在区间I上也单调递增(减);(2)若)(xf在区间I上单调递增(减),k为任意非零常数,当0k时,)(xfk在区间I上单调递增(减);当0k时,)(xfk在区间I上单调递减(增),特别地,当1k第6页(共40页)时,)(xf在区间I上单调递减(增);(3)运算性质:增增增,减减减,增减增,减增减;(4)设)(xf为区间I上的增(减)函数,且)(xf在区间I上不变号,则)(1xf为区间I上的减(增)函数;(5)若偶函数在区间[,]ab上单调递增(减),则在区间[,]ba上单调递减(增);若奇函数在区间[,]ab上单调递增(减),则在区间[,]ba上单调递增(减);(6)复合函数的单调性:同增异减;(7)常见函数的单调性:1°一次函数bkxy(0k);2°二次函数cbxaxy2(0a);3°反比例函数xky(0k),变式:cxdyaxb(0a,adbc);4°xbaxy(0a,0b)和xbaxy(0a,0b):xbaxy(0a,0b)xbaxy(0a,0b)图像定义域),0()0,(奇偶性奇函数递增区间ab,,,ab)0,(,),0(递减区间0,ab,ab,0无渐近线0x,axyxyOyxO第7页(共40页)【例题解析】1、判断下列函数的奇偶性:(1)2||3)(2xxxf;(2)xxxxfsin23)(3;(3)1)1()(xxxxf;(4)1)(2xxxf;(5)1cos||)(xxxf;(6)2|2|1)(2xxxf;(7))1lg()(2xxxf;(8)xxxf11lg)(;(9)11)(22xxxf;(10)122)(xxxxf;(11)0,sin0,sin)(22xxxxxxxf;(12)1||)(2axxxf。【解】(1)偶函数;(2)奇函数;(3)非奇非偶函数;(4)非奇非偶函数;(5)函数的定义域为{π)12(|kxx,kZ},偶函数;(6)函数的定义域为]1,0()0,1[,xxxf21)(为奇函数;(7)因为0||122xxxxxxxx恒成立,所以函数的定义域为R,)()1lg(11lg)1lg()(222xfxxxxxxxf,所以,函数)(xf为奇函数;(8)奇函数;(9)0)(xf,x{1,1}既是奇函数又是偶函数;(10)函数的定义域为R,12)12()(xxxxf,)(21)21(12)12()(xfxxxfxxxx,所以,函数)(xf为偶函数;(11)偶函数;(12)当0a时,函数为偶函数;当0a时,0||2)()(aafaf即)()(afaf,02||22)()(2aaafaf即)()(afaf,所以函数为非奇非偶函数。第8页(共40页)5O2yx2、(1)若函数dxcxbxaxf)2()1()1()(23是偶函数,则实数a、b、c、d应满足的条件是a=1,b∈R,c=2,d∈R;【变式】若3)3()(2xbaxxf(2[2,]xaa)是偶函数,则a1,b3;(2)若21|1|)(xaxxf是奇函数,则实数a1;【变式1】若11lg)(xaxxf是奇函数,则实数a1;【变式2】若122)(xxaxf是奇函数,则实数a1;(3)设7)(3bxaxxf,且3)5(f,则)5(f11;【变式】(2012年上海卷理科)已知2)(xxfy是奇函数,且1)1(f。若()()2gxfx,则)1(g1;(4)设奇函数)(xf的定义域为]5,5[,若当]5,0[x时,)(xf的图像如右图所示,则不等式0)(xf的解集为]5,2()0,2(;【变式】已知定义在)3,3(上的奇函数)(xfy,当30x时,图像如右图所示,则不等式0)(xfx的解集为)1,0()0,1(。3、已知函数)(xf的定义域为D,若对任意Dx,都有|)(||)(|xfxf,试判断函数)(xf的奇偶性。小明同学的解法如下:由题意可知,函数)(xf的定义域关于原点对称。又因为任意Dx,都有|)(||)(|xfxf,所以)()(xfxf或)()(xfxf,因此)(xf为奇函数或偶函数。请判断上述结论是否正确,若正确,再给出一种解法;若不正确,请举反例。13xyO第9页(共40页)【解】上述结论不正确,反例:1,11,1)(xxxf。4、(1)已知)(xfy是R上的奇函数,且当0x时,xxfxcos2)(,求)(xf的解析式;(2)已知)(xfy是R上的偶函数,且当0x时,xxxf2)(2,求)(xf的解析式。【解】(1)0,cos20,00,cos2)(xxxxxxfxx;(2)0,20,2)(22xxxxxxxf。5、已知函数)(xf和)(xg的定义域都是),1()1,1()1,(,且)(xf为偶函数,)(xg为奇函数,若11)()(xxgxf,求函数)(xf和)(xg的解析式。【解】11)(2xxf,),1()1,1()1,(x,1)(2xxxg,),1()1,1()1,(x。6、讨论函数182)(
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